El círculo como unidad de medida: un experimento filosófico-matemático fallido

 

La unidad de medida de áreas por antonomasia es el cuadrado unidad.

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Como puede verse en Other units [of area] including historical (wp), todas remiten en última instancia a este (incluso, indirectamente, las rectangulares, tipo acre, rood, klafter, hvat, katha, jugerum, lane meter...), más allá de que la longitud unidad empleada varíe (con ejemplos tan particulares como la sana lamjel: the distance from the floor to the tips of the fingers of his [Nongda Lairen Pakhangpa] raised right hand while standing (a fathom), plus 4 fingerwidths). La única excepción es el barn entendido como la sección (circular) transversal efectiva de un núcleo atómico de uranio, si bien, asumo que por cuestiones de practicidad (y siguiendo la filosofía del Sistema Internacional de Unidades de remitirlo todo a sus constantes definitorias y unidades básicas), se estandariza (de manera aproximada) a $10^{-28}$ metros cuadrados.

PS. Revisando Category:Units of area (wp), resulta que sí existen varias excepciones históricas al cuadrado, aunque con significaciones agrarias, ganaderas y sociales, dando lugar por ende a unidades de medida no delimitadas ni a una figura concreta (i.e., no geometrizables, aunque sí aritmetizables) ni tampoco a una cantidad de área específica (en el sentido de ser contingente a una serie de circunstancias, haciéndola no estandarizables sin perder su significado original, y de ahí posiblemente la común variabilidad de facto entre significante y referencia a nivel de cantidad de área) tipo: alqueire (area of land that could be sown with an alqueire [as unit of volume] of seed), barrel of land (similar), carucate (the land a plough team of eight oxen could till in a single annual season), feddan (similar), oxgang (similar), juchart (similar: amount of farm land that a man could plow in one day), morgen (similar), łan (average size of a peasant's tenured farm), collop (land sufficient to graze one cow), davoch (similar: land that could support 60 cattle or oxen), groatland (land that cost an annual rent of one groat), ounceland (similar), hide (amount of land sufficient to support a household, as measure of value and tax assessment), mansus (similar), mantal (similar)... (Por aclarar mi punto sobre la contingencia de estas unidades, y a modo de ejemplo, la distancia entre semillas para el sembrado se basa en promedios de tamaño y forma de la raíz y parte superior de la especie plantada (susceptible de deriva genética) y la fertilidad del suelo, y su localización depende de la forma del terreno útil, que puede depender de factores como la iluminación (pues puede ser opacada por elevaciones de terreno, u otros elementos, durante demasiadas horas del día como para hacer ciertas zonas hábiles).)

Sin embargo, sí hay dos unidades de medida geométricas estándar no cuadradas ni rectangulares: la romana quinaria (sección de una tubería construida con una lamina de longitud 5 dedos, que constituye su perímetro) y el aún vigente circular mil (área del círculo de diámetro un mil) de la American Wire Gauge (1857). No obstante, no parece que estas unidades hayan trascendido al sistema métrico en la forma de «metro circular» (salvo uso esporádico, como en la patente US8481076 de 2013, link), y a juzgar por Frontinus De aquaeductu c. 100 dC (sec. 26-32, Thayer) y McGraw Standard Handbook for Electrical Engineers 1907 (en su 17 edición a 2018), parece que su empleo se limita a indicar escalas de calibres de manera indirecta a partir de su perímetro o diámetro, y que por tanto no se utilizan como unidad de medida en el sentido aditivo (y no meramente escalar) usual, ni tampoco tienen una correspondiente técnica metrológica (geométrica o física) endogena o directa (i.e., sin remitirse a las susodichas longitudes, sino sólo a áreas de la unidad circular) asociada, a la manera en la que el cuadrado unidad sí, a base de utilizarlo para teselar el espacio en un plano de coordenadas cuadriculado, cumpliendo también la función de índice espacial (cf. grid).

De hecho, me atrevería a decir que la noción intuitiva de unidad de un cierto espacio entraña en sí misma la idea de que dicha unidad pueda teselar por sí misma dicho espacio (excluyendo en consecuencia a las $n$-bolas como propuesta potencial, lo que explicaría mi fallido experimento, así como la naturalidad del $n$-cubo como $n$-panal, teniendo en cuenta que, fijado un vertice como el origen, sus aristas generan, en calidad de base, todo $R^n$), siendo dicha unidad idealmente un politopo regular (aunque los polígonos irregulares y los plesiohedron tampoco parecen tan malos candidatos), lo que en el plano euclídeo nos dejaría sólo con tres posibilidades (triangulo, cuadrado o hexágono) y en tres dimensiones con una (cubo), si bien en otros planos tendríamos una infinidad de ellas (construibles, e.g., por el método no exhaustivo del símbolo de Schläfli, cf. wp), así como más variedad de $n$-panales regulares (wp), sin olvidar que, a medio camino entre planos y volúmenes, tenemos que toda superficie diferenciable o de dimensión menor a 3 es triangulizable por complejos simplicales. (Otra alternativa sería el uso de unidades de medida mixtas vía teselaciones semiregulares, a la manera en la que los ángulos pueden medirse en grados, minutos y segundos.)

El propósito de este escrito es pensar como sería una matemática (empezando por la geometría, y terminando idealmente en el cálculo y la teoría de la medida) cuya unidad de medida fuera el círculo unidad. Denotaré ambas unidades de medida como aq y ac respectivamente.

Primero de todo, aunque por círculo unidad se entiende de normal al círculo de radio 1, en este nuevo contexto podríamos plantearnos que se refiriese al círculo de diámetro 1: dado un segmento, consideraríamos el área que describe el menor círculo que lo contiene.

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Nótese que aplicar esta definición cambiando «círculo» por «cuadrado» nos daría una definición distinta de unidad aq, pues un cuadrado unidad aq contiene $\sqrt{2}$. Sería bonito tener una definición general de polígono unidad que fuera consistente con las usuales de cuadrado y círculo unidad, pero ahora mismo no se me ocurre ninguna.

PS. Un polígono unidad es un polígono regular con apotema 0.5, entendiéndose que el apotema de un círculo es su radio (pensando al círculo como un $\infty$-ágono). Esto es consistente tanto con aq como ac (tomando diametro 1).

Una motivación para este cambio podría ser que, por definición, 1 ac serían $\pi (\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.{)}^2$ (0.79 aprox) aq, dándonos un ratio más próximo a 1 de lo que nos daría el círculo de radio 1.

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Tanto este hecho como la propia naturaleza de la definición propuesta podrían ser la motivación tras la formulación del cmil. Alternativamente, e inspirándonos en la quinaria, también podríamos proponer tomar al círculo unidad como aquel que tiene perímetro 1, lo que nos daría un radio de $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2\pi $}\right.$ y, por extensión, un área (en aq) de $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4\pi $}\right.$ (0.08 aprox).

Sin embargo, dado que la construcción por regla y compás de un círculo es más natural a partir de su radio, vamos a mantener la nomenclatura estándar.

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Siendo honesto, esta es una justificación bastante tradicionalista que no sé hasta que punto es coherente, defendible o preferible desde las técnicas actuales de diseño digital y fabricación robotizada vía el paradigma CAD/CAM.

Así, tenemos que 1 ac = $\pi$ aq.

Empecemos calculando el área de un círculo general, $A_2$. ¿Cómo se relaciona con el área del círculo unidad, $A_1$? Usando la fórmula del área del círculo en el sistema aq, tenemos que $A_2/A_1=(r_2/r_1{)}^2$, luego $A_2=r_2^2$.

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Esto también se podría haber deducido directamente de la conversión dada entre ac y aq.

Es decir, en ac el área del círculo es completamente análoga al área del cuadrado en aq: la unidad al cuadrado (o, deberíamos decir, al círculo), y análogamente con una $n$-bola.

Pero, ¿cómo podríamos argumentar esto de manera endogena al sistema de medida ac, sin recurrir a la geometría ya conocida desde aq? En aq, dado un cuadrado de base $b\in N$, podemos rellenarlo con $b\times b$ cuadrados unidad (lo que se extrapola fácilmente a $b\in R$), pero no parece evidente que podamos replicar este razonamiento con círculos

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De hecho, no podemos, ya que eso equivale (por definición) a ser una teselación congruente, y el círculo ni siquiera tesela el plano.

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Sin embargo, sabemos que, con indiferencia del sistema de medida, el ratio se mantiene [?];

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Aquí estoy presuponiendo una fórmula de una cierta forma (productorio de las longitudes definitorias de la figura en cada una de sus dimensiones multiplicado por una constante) en base a una cierta intuición geométrica condicionada a la experiencia con aq, pero no tengo nada claro que ello se pueda justificar con rigor desde ac (¿cómo?), o no sin caer en una petición de principio.

E.g., podría argumentar que esto es así porque el determinante es una función homogénea así como una medida de hipervolumenes. Sin embargo, incluso definiendo el determinante sin apelar a coordenadas ni matrices, diría que la noción misma de base (¿y del álgebra lineal en su totalidad?) presupone al $n$-cubo como unidad (por lo ya comentado en 1). No obstante, es probable que me equivoque (tengo mis matemáticas demasiado oxidadas), teniendo en cuenta que las coordenadas homogéneas del espacio proyectivo (y, más en general, las grasmanianas de los espacios diferenciables) siguen siendo estudiables desde el álgebra lineal y suponen una aproximación más propia de ac, además de que los determinantes pueden definirse en general para todo tensor métrico (y, por ende, en toda variedad de Riemann).

Como alternativa más sencilla, podría sugerirse simplemente recubrir la figura con círculos (o $n$-bolas, en general) infinitesimales, compensando si acaso (pues tampoco es como si obtuviéramos recubrimientos perfectos usando cuadrados) los huecos de la teselación con un factor. Sin embargo, eso sería pensar bajo la lógica de aq, pues la operación que define ac es «circunferenciar» segmentos (i.e., crear círculos a partir de radios), por lo que dicho recubrimiento no se traduciría de manera natural (en unidades ac) a la intuición del área como el productorio de las longitudes definitorias, o no sin pasar antes por una conversión. (PS. En verdad creo que estoy siendo bastante injusto con esta heurística y muy rígido respecto a lo que significa pensar en ac: el argumento es transversal a cualquier figura con indiferencia de si tesela el espacio.)

Una tercera opción sería repensar el problema en coordenadas polares: ${\int }_{D}dA={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^R\left(rd\theta \right)dr$ pues $dA=dsdr$ con $ds=rd\theta$ la longitud de arco (khan). Sin embargo, las regiones $dA$ recuerdan más a aq que a ac y $dA=dsdr$ ya presupone la dependencia de $r$ que queríamos ver en ac (aunque el reframing en términos de sección de circunferencia hace quizá más natural su justificación, aunque a mí no me lo parece).

así, si el círculo unidad fuera de radio 2 (denotando su área como 1 ${ac}_2$ para distinguirla de los 4 ac que queremos demostrar), la relación... [?]

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De nuevo, creo que estoy intentando tirar de la ley del cuadrado (wp) o algo por el estilo, por analogía con el argumento aq, aunque no veo que funcione si borramos de la cabeza lo que sabemos de aq. ¿Tal vez con alguna ley de escalado/proyección, vía geometría sintética?

De hecho, es tautológico que la figura unidad está contenida 4 veces en la figura dos unidades para cualquier figura: [?]

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¿A partir de los axiomas de área de teoría de la medida? (wp). Parece difícil de creer, empezando porque al menos la medida de Jordan ya presupone cuadrados en su definición, aunque supongo que se podría replantear como recubrimiento por bolas. No sé, quizá debería explorar otras medidas menos usuales de la teoría de la medida geométrica (Herbert Federer Geometric measure theory 1969), tipo la medida de Hausdorff, aunque creo que todas estas tangentes se escapan por mucho al inocente proyecto que tenía en mente en origen.

Consideremos, por ejemplo, un círculo de radio dos centrado en 0, y veamos que contiene exactamente cuatro círculos unidad: dibujando círculos unidad centrados en 1 y -1, por simetría basta ver que si nos quedamos con sólo uno de los cuadrantes (que por aq sabemos que tendrá área 1 ac), la parte contenida en nuestro semicírculo unidad (de área 0.5 ac) es idéntica a la no contenida. Y para ello, [?]

¿Y cual sería el área del cuadrado? Por conversión, $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\pi $}\right.$ (0.32 aprox) ac. ¿Y cómo derivarlo desde ac? Consideremos un círculo inscrito y otro circunscrito a un cuadrado unidad, de modo que la diagonal del cuadrado sea igual al diámetro del círculo circunscrito y el lado del cuadrado sea igual al diámetro del círculo inscrito. Entonces tendríamos que el área del cuadrado unidad quedaría acotada entre $(\sqrt{2}/2{)}^2=0.5$ y $(1/2{)}^2=0.25$ ac. Así... [?]

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Estaba tratando de imitar el método de aproximación de $\pi$ de Arquímedes, pero claramente necesito una formulación más astuta desde ac, o empezar desde un $n$-ágono.

Y en general, razonando como en aq, dado un cuadrado de base $b$, tenemos que su área es $\frac{1}{\pi }{b}^2$ ac.

Establecidas estas relaciones básicas, es interesante considerar lo siguiente. De usual, $\pi$ se define como la relación entre la longitud del perímetro de un círculo y su diámetro. Pero en términos de áreas, también se puede definir como el área aq del círculo unidad, lo que podría dar lugar a su redefinición (en una geometría ac, si diéramos preeminencia a las áreas sobre las longitudes)

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Lo que me recuerda al debate «tau vs pi», en el que $\tau$ «simplifica» el manejo de ángulos, pero $\pi$ el de áreas.

como el área ac del cuadrado unidad; o, cuanto menos, a la acuñación de una nueva constante (por analogía con $\tau$), lo que tampoco sería la cosa más elegante del mundo.

En cuanto al resto de figuras, podemos aplicar conversiones de unidades similares,

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Por ejemplo, podemos observar que el área de la elipse en ac es completamente análoga a la del rectángulo en aq.

aunque la derivación geométrica intrínseca parece de todo menos sencilla. De hecho, ni siquiera tirar de cálculo nos salvaría, ya que las integrales de Rienmann o Lebesgue están basadas en última instancia en la suma de áreas de rectángulos.

Si más no, espero que este experimento fallido haya mostrado la naturalidad del cuadrado como unidad de medida de áreas en la geometría euclidiana y, por extensión, toda geometría localmente euclidiana.

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Aunque, siendo justo, usar triángulos como unidad de medida (denotada at) sí hubiera sido un proyecto viable, si bien no particularmente rompedor, más allá del hecho de que todo triangulo con base y altura unidad daría la misma área, dando cierta indefinición o libertad a la forma del área patrón.

Disparador: Ernesto Castro Cinco teorías sobre el tiempo | Hermenéutica (12/15) 2022 (yt, 5:40-9:45), a 19/1/2023.

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Al día siguiente descubrí el cmil, y al segundo caí en lo de la teselación.

Bagaje relevante: El Traductor de Ingeniería Análisis Matemático para Pensar, por Lic. María Inés Baragatti - Parte 2 de 3 2022 (yt, 12:10-13:45), SERIES: Parte 1: Sucesiones - Lic. María Inés Baragatti | UNLP 2019 (yt, 15:50-19:20).