Mates atléticas

Sékioz de Niafre

Basado en un sueño del 16/4/2021.

Si me están persiguiendo a través de un carril unipersonal

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O en otras palabras, un espacio unidimensional. Lo que pretendo evitar con esto es que, si tomo una curva, puedan atajarme cortando por ella (i.e., tomando la cuerda que nos une respecto a la circunferencia que traza mi curva). Y en este entendido, a modo alternativo, puede suponerse en su lugar que el carril es rectilíneo. O ya puestos, que quien desea atraparme sigue a la fuerza mi misma trayectoria; e.g., porque ésta contiene un campo de impulso (corriente marítima, racha de viento, campo magnético en el contexto de los trenes balas, etc.) infinitamente ventajoso.

de un único sentido

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Con esto pretendo evitar que, en espacios con curvatura (como una esfera), me atrapen por sorpresa yendo en el sentido opuesto a mí. Como hipótesis alternativa, supóngase un espacio plano.

a velocidad constante $v_1$, y yo voy a velocidad constante $v_2$, entonces no me atraparan nunca si $v_1\le v_2$.

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Nótese que estoy suponiendo que no hay cansancio.

De hecho, sea $v=v_2-v_1$ y $d\left(t\right)$ la distancia que nos separa en un momento $t$, con $x$ la distancia inicial. Entonces $d\left(t\right)=x+vt$.

Sin embargo, si en mi camino tengo que ir abriendo puertas o rejas que no vuelvo a cerrar tras de mí,

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Si fuerzo una puerta con una embestida, es obvio que luego no voy a poder cerrarla de nuevo. Y aunque pudiera, el tiempo invertido en ello seguiría siendo perdido, pues quien me persigue no tiene la necesidad de hacer lo propio (tema aparte es si me compensa, e.g., porque se tarda menos en cerrar que en abrir).

y al intentar saltar vallas y obstáculos termino tumbándolos (o rompiéndolos), etc., entonces no sólo iré perdiendo tiempo en ello (i.e., mi velocidad caerá periódicamente a cero),

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Técnicamente, si me tropiezo con algo (o atravieso una puerta, etc.) sin dejar de correr, mantendré parte de mi velocidad. Ahora bien, calculando la distancia que me ha hecho perder, puedo determinar a cuanto tiempo parado equivale eso. O en otras palabras, puedo simplificar la modelización de dicho evento poniendo la carga (en una suerte de caja negra) en el tiempo, sin preocuparme por los detalles referidos a cómo ha variado la velocidad.

sino que además iré dejando la vía libre a quien me persigue (de modo que no tendrá dichas fluctuaciones en su velocidad). En estas condiciones, si $v=0$, entonces me atraparan eventualmente. De hecho, sea $p$ el tiempo total perdido en ello, con $p\le t$. Entonces $d\left(t\right)=x+v\left(t-p\right)-v_{1}p$, ergo $d\left(t\right)=0$ ssi $p\left(t\right)=\frac{x+vt}{v_2}$.

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Nótese que al evaluar $p\left(t\right)$ para un cierto $t$ puede ocurrir que $p\left(t\right)>t$. Ello significa que dicho $t$ es insuficiente incluso si todos los obstáculos se situaran al principio uno tras otro (o simplificando, si hubiera un único y complejo obstáculo al principio). De hecho, $p\left(0\right)$ constituye una cota inferior del tiempo que tiene que pasar para que me atrapen, e iterando dicho resultado en $p$ (i.e., calculando $p^2\left(0\right)$) podemos obtener una cota aún mejor, y así sucesivamente.

Es más, supongamos que tardo el mismo tiempo $o$ en todos los obstáculos, y que el primero ocurre en un tiempo $k$, y que se dan cada $f$ tiempo, y un total de $n$ veces.

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Si $v_1\le v_2$, me atraparan mientras esté lidiando con uno de esos obstáculos, por lo que es un framing natural tratar de buscar en cual de ellos.

Entonces $d\left(\left(k+o\right)+n\left(f+o\right)\right)=x+v\left(k+nf\right)-v_1\left(o+no\right)$, que sera cero si $n=\frac{x+vk-v_{1}o}{v_{1}o-vf}$.

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Nótese que si $v_{1}o-vf\le 0$, entonces no depende de $n$ que me atrapen, sino sólo de si $x+vk-v_{1}o\ge 0$, en cuyo caso no me atraparan.

Obsérvese que encontrado el tiempo que tardaran en atraparme, también tendremos la distancia recorrida. En particular, si hay una distancia $D$ a partir de la cual estoy a salvo (e.g., porque he llegado a mi guarida), también sabré si llegare a tiempo o no a la misma como para salvarme.

Las ecuaciones anteriores también permiten jugar con la pregunta: ¿cuanto tendría que aumentar $v_1$ para atraparme?