Soluciones exactas

1 Preámbulo: divisiones y fracciones

1.1 Conceptos básicos

El teorema de la división euclídea para los números naturales establece que:

∀(D , d) ∈ N × N ^* , ∃ ! (c , r) ∈ N² ; D = cd + r , r < d

donde D representa el dividendo, d el divisor, c el cociente, r el residuo y N ^* = N ∖ {0} (pues c no estaría unívocamente determinado si d = 0).

Se dice que la división es exacta ssi r = 0, i.e., ssi D «contiene» a d exactamente c veces (i.e., D = cd).

Nótese que c = 0 ssi D < d (pues r < d), y que (ampliando nuestro sistema numérico a Q) D/d = c + r/d, por lo que no podemos iterar sobre r/d si r ≠ 0 (pues nos quedaría r/d = 0 + r/d).

Ahora bien, si b es la base de nuestro sistema de numeración posicional, entonces podemos escribir:

rd = rd(bb ^{- 1}) = (rbd)b ^{- 1}

para obtener (por división larga) su expansión decimal, iterando el proceso cuantas veces sea necesario, pues puede ocurrir que rb < d (aunque es claro que ∃l ∈ N ; rb^l > d) o que la nueva división tampoco sea exacta (generando residuos sucesivos r₁ , r₂ , r₃… distintos de cero).

Sin embargo, ¿este procedimiento se acaba? Por el teorema de la división, tenemos que r_i ∈ {0 , 1 , 2 , … , d - 1} (con i ∈ N y r₀ ≔ r), luego:

1. Si en algún punto el residuo es (por primera vez) cero, entonces la expansión termina, y es por ende finita.
   1

   Técnicamente, nada nos impide volver a dividir el obtenido residuo cero, que nos dará a su vez cociente y residuo cero, y así ad infinitum. Sin embargo, es claro que no nos aporta nada continuar con la división larga una vez hemos llegado al primer residuo cero, digamos r_k, pues c_kb ^{- k} + ∑ ∞i = k + 10 ⋅ b ^{- i} = c_kb ^{- k} (donde c_k denota el cociente de la k-ésima división), y de ahí que D/d se represente sólo con k decimales.

   Por otra parte, nótese que podemos caracterizar a dicho k como:

   (∃ ! k ∈ N)((r_k = 0) ⋀ (∀k ' ∈ N(r_{k '} = 0 ⇒ k ≤ k ' ))).
   Decimos en tal caso que es un número fraccionario exacto.
2. Si no, eventualmente (en n < d iteraciones)
   2

   Si R(d) denota al conjunto de los residuos posibles de dividir por d (i.e., R(d) = {0 , 1 , 2 , … , d - 1}), y si excluimos del conjunto al cero (pues ya lo hemos considerado en el caso anterior), entonces la repetición tiene que darse a lo sumo en d - 1 iteraciones (si se quiere, por el principio del palomar).
   se repetirá (por primera vez) algún residuo, y por ende, también las divisiones (y expansiones decimales) sucesivas.
   1. Si el primer residuo que se repite es el primero (i.e., r_n = r₀), decimos que es un número fraccionario periódico puro (con periodo de longitud n).
   2. Si no, eventualmente (en m < n iteraciones, con m > 0) aparecerá (por primera vez) el residuo que eventualmente se repita, y diremos que es un número fraccionario periódico mixto (con periodo de longitud n - m, y m decimales no periódicos previos).
      3

      Más formalmente, podemos caracterizar estos números como: (∃ ! (n , m) ∈ N²) ( (m < n) ⋀ (r_n = r_m) ⋀ ( (∀(n ' , m ' ) ∈ N²)((m ' < n ' ) ⋀ (r_{n '} = r_{m '} ) ⇒ (m ≤ m ' ) ⋀ (n ≤ n ' )).

1.2 Ampliación

Es más, no sólo todo racional es de esta forma, sino que cualquier expresión de este tipo es un racional. En efecto, sea x = ( a.a₁…a_m ¯ a_{m + 1}…a_n ) _b. Entonces

bⁿx = bⁿ ( a ) _b + ( a₁…a_ma_{m + 1}…a_n. ¯ a_{m + 1}…a_n ) _b

y

bⁿx - b^mx = (bⁿ - b^m) ( a ) _b + ( A ) _b ( a₁…a_ma_{m + 1}…a_n ) _b - ( a₁…a_m ) _b ⏟ ,

ergo

x = ( a ) _b + ( A ) _bbⁿ - b^m ∈ Q

(pues ( A ) _b , bⁿ - b^m ∈ Z).

De hecho, podemos hilar más fino. Por lo que acabamos de ver, sabemos que ∀y ∈ Q , (bⁿ - b^m)y ∈ Z, o equivalentemente, ∀y ∈ Q , (b^{n - m} - 1)b^my ∈ Z. Sea, pues, y = p/q una fracción irreducible y b_i los primos en los que descompone b, y pongamos q = q₁q₂, con q₁ = ∏ _ibs_ii y q₂ tal que ∀i , b_i ⫮ q₂. Entonces:

1. b ^{max {s_i}_i}q - 11 ∈ Z.
2. mcd(q₂ , b) = 1 y por ende b es invertible en Z_q2, ergo b^g ≡ _q21 con g el orden de b en Z_q2, donde g es un divisor de ϕ(q₂) (por el teorema de Euler). En particular, q₂ divide b^g - 1, i.e., (b^g - 1)q - 12 ∈ Z.

Así, recapitulando, tenemos que:

1. y es un número fraccionario exacto ssi q₂ = 1, con max {s_i}_i decimales.
2. y es un número fraccionario periódico puro ssi q₁ = 1 (i.e., ∀i , s_i = 0), con periodo de longitud el orden de b en Z_q2 (que es un divisor de ϕ(q₂)).
3. y es un número fraccionario periódico mixto ssi ∀i , q_i ≠ 1, con periodo de longitud n - m = ord_q2(b), y m = max {s_i}_i decimales no periódicos previos.

1.3 Conclusiones

Sea como fuere, merece la pena enfatizar que ser o no fracción exacta depende completamente de la base del sistema de numeración posicional. Así, e.g., tenemos que:

( 0 . 1 ) ₃ = 0 ⋅ 3⁰ + 1 ⋅ 3 ^{- 1} = 0. ¯ 3

Destacar también que ambas nociones de exacto han dependido en última instancia de un contexto muy determinado, y que no describen propiedades inherentes de los números. En efecto, nótese que la construcción por regla y compás (vía la división de un segmento en partes iguales por el teorema de Tales en un contexto de geometría sintética euclídea) de: 2/2 (división exacta), 1/2 (división no exacta, fracción exacta) y 1/3 (fracción no exacta), es indistinguible en su forma, y que en este tercer contexto no emerge de manera natural una noción de división ni fracción no exacta.

Por último, quiero recalcar el esfuerzo requerido

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A pesar de haberme saltado varias demostraciones, empezando por el teorema de la división euclídea.

para definir justificadamente y de manera precisa, así como caracterizar por completo, lo que en un primer momento se presentaba como a una idea intuitiva: la de exactitud.

2 Ecuaciones algebraicas (aka polinómicas)

2.1 Practicabilidad

Lo anterior debería aclarar el origen de mi confusión ante la expresión «solución exacta de una ecuación algebraica», que se me antoja harto ambigua.

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Llegados hasta aquí, merece la pena aclarar que este texto lo inspira un par de conversaciones que tuve en Discord (del 24/01/2021 y 04/02/2021) con un estudiante de física. No voy a negar que mi actitud y respuesta son (y fueron) un poco elusivas y autistas (obviando, o no viendo, la interpretación natural), pero creo que aun así son más ilustrativas (e.g., apelando a Chow y Lazard, que citare más adelante) que no los tecnicismos por los que literalmente se me preguntaba (a los que en cualquier caso no puedo hacer justicia), y de ahí el tono de este artículo. Y aun con todo, tengo que admitir que no me consta la existencia de ninguna definición matemática precisa de tal cosa.

Pues, dada la caracterización que acabamos de obtener de los racionales, cabría preguntarse qué debería entenderse por exacto: en el momento que saltamos de Q a R, resulta tentador considerar de inexacta cualquier solución que caiga en R ∖ Q (en tanto que decimal infinito aperiódico).

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Más aun, dada una fracción exacta con un gúgol de decimales, ¿realmente tendría sentido llamar a ésta exacta, cuando en la práctica sólo vamos a usar una ínfima porción de sus decimales? Y otro tanto con enteros del orden del gúgol, que vamos a expresar usualmente de manera compacta y aproximada vía notación científica, indicando sólo las primeras cifras, el orden y el error relativo.

Y en efecto, si alguien respondiese «sin usar aproximaciones (obtenidas, e.g., por métodos numéricos como Newton-Raphson)», cabría preguntarse: ¿pero no es sino con estos métodos que calculamos los números irracionales?

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De hecho, este es quizá el algoritmo más antiguo de cálculo de raíces cuadradas, cf. Fowler & Robson Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context 1998. E incluso si somos escépticos respecto a los babilónicos, Herón de Alejandría lo describe en Metrica 60 dC.

Por supuesto, las raíces también pueden calcularse a mano (aka dígito-a-dígito, vía el «shifting nth root algorithm», en una suerte de análogo a la división larga), pero me parece un poco ingenuo afirmar que eso las hace soluciones más exactas.

Sobre estos y otros métodos (fracciones continuas, sucesiones de Lucas...), cf. Wikipedia Methods of computing square roots. Y para un contexto más amplio, cf. Wikipedia Root-finding algorithms, notando que todos estos medios pueden complementarse con otros no numéricos (cf., e.g., Wikipedia Geometrical properties of polynomial roots y Rational root theorem).

De nuevo, necesitamos un framework preciso sobre el que definir qué queremos entender por exacto.

2.2 Formas cerradas

Para ejemplificar mejor esto último (y mi desconcierto en general), recordemos que el problema clásico de la duplicación del cubo

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Hipócrates de Quíos, segunda mitad del siglo V aC, es de las primeras referencias.

es equivalente a la construcción de ³√2 (la longitud de la arista del cubo unidad duplicado), que es la solución de x³ - 2 = 0. Tal construcción no es posible con sólo regla y compás,

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Pierre Wantzel (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal) (2). pp. 366-372.

No obstante, nótese que √2 sí es construible. De hecho, un número real α es construible ssi α ∈ K_n, con K_n | … | K₁ | Q una torre finita de extensiones cuadráticas.

Recordatorio: L es una extensión (de cuerpos) de K, y escribimos L | K, ssi K , L son cuerpos, K ⊂ L y L extiende las operaciones de cuerpo de K (i.e., ssi las operaciones de L coinciden con las de K al restringirse a K. En particular, L es un K-espacio vectorial). El grado de L | K, escrito [L : K], es la dimensión de L como K-espacio vectorial. La extensión es finita (aka algebraica) ssi el grado es un natural, y es cuadrática ssi es 2. En este último caso, podemos reescribir L como al cuerpo (de números algebraicos) cuadrático K(√a), con a libre de cuadrados en K (i.e., tal que ∄b ∈ K ; b² = a).

Ampliación recordatorio: dado S un subanillo de R, y C ⊂ R (tal que C / ⊂ S), denotamos por S[C] al menor subanillo de R conteniendo S y C (y decimos que S[C] es el subanillo de R generado por S y C, o la extensión de S en R generada por C, o obtenida por adjunción de C, aka anillo de polinomios con indeterminadas en C sobre S), y análogamente con S(C) cambiando anillo por cuerpo. Si C es un dominio de integridad, entonces S(C) coincide con el cuerpo de fracciones de S[C], i.e., {p/q : p , q ∈ S[C] , q ≠ 0}.

pero sí vía origami

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Peter Messer (1986). Problem 1054. Crux Mathematicorum. 12 (10): 284–285.

Axiomatizado en: Justin, Jacques (1986). Résolution par le pliage de l'équation du troisième degré et applications géométriques. L'Ouvert - Journal de l'APMEP d'Alsace et de l'IREM de Strasbourg. 42: 9–19.

En cuanto a la caracterización (en términos de la teoría de Kummer) de su constructibilidad, si entiendo bien a Alperin Trisections and Totally Real Origami 2005, es análoga a la de la regla y compás pero con [K_{i + 1} : K_i] ∈ {2 , 3} (i.e., añadiendo raíces cúbicas).

u otros medios.

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Curva de Arquitas (primera mitad del siglo IV aC), cónicas (ídem, Menecmo), cisoides (segunda mitad del siglo III aC, Diocles), métodos mecánicos (Platón, Eratóstenes), método neusis (anterior a Hipócrates de Quíos. A los números así construidos se los conoce como Viétens, y son equivalentes a los construibles por origami), etc.

Por tanto, como en el caso de las divisiones y fracciones, parece que tenemos (al menos) dos posibles nociones de solución exacta (en función de su constructibilidad geométrica) a nuestra disposición.

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Aquí estoy tomando la constructibilidad (y los métodos finitarios en general) como sinónimo o paradigma de exactitud (pensando implícitamente en Brouwer y Hilbert) para contraponerlos a los métodos iterativos (como Newton) antes denunciados (que, por la propia naturaleza de los irracionales, devienen métodos no finitarios). Sin embargo, no quiero sugerir con esto que los problemas clásicos griegos sean aun relevantes y deban tomarse como referencia, criba o examen para nuestra nueva noción de «exacto».

De hecho, diría que aún se enseñan en la universidad sólo porque emergen de manera natural como a un hermoso e ilustrativo corolario de la teoría de Galois, a modo de pie de página, sin llegarles a dar por ello verdadera importancia. Y posiblemente no la tengan (más allá de la histórica, estética y pedagógica, cf. I. J. Kennedy What is the (mathematical) point of straightedge and compass constructions? 2011 en math.stackexchange), pues, ¿en que campo de las matemáticas se emplean resultados de constructibilidad por regla y compás?, o ¿qué aplicación práctica tienen hoy, con el auge de AutoCAD y similares en ingeniería?

Por supuesto, y como siempre, esto no significa que en ciertos nichos específicos sí puedan ser relevantes todas estas cuestiones, como notan en Veritasium Engineering with Origami 2019, o recordando la íntima relación entre la línea de pensamiento intuicionista-constructivista de Brouwer y la algorítmica, el razonamiento automático y la computación en general (relación por la cual quizá Brouwer no rechazaría de manera tan tajante a los métodos iterativos, en tanto que proveen de algoritmos que nos permiten obtener la solución).

Una (aparente) alternativa a este enfoque es interpretar «solución exacta» como solución algebraica (aka solución en radicales), i.e., una expresión algebraica (i.e., que emplea únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación racional) en términos de los radicales del polinomio, lo que:

1. No es lo mismo que decir que «que exista una fórmula», salvo que queramos entender «fórmula» en dichos términos.
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   En Wikipedia definen fórmula como «an identity which equates one mathematical expression to another» (aka ecuación, lo que googleando «List of Maths Formulas» parece bastante apropiado), y más en general, como «the general construct of a relationship between given quantities».
2. Es más abarcador o general que la noción de constructibilidad, pues todo número construible es de esta forma, pero no viceversa.
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   Más formalmente, y con las notaciones de Nota al pie 9, α es una solución en radicales ssi [K_{i + 1} : K_i] ∈ N, y decimos que la torre de extensiones define una serie radical, y que K_n es una extensión radical. «La teoría de Galois clásica demuestra que el grupo (de Galois) de los automorfismos del cuerpo de descomposición de [un polinomio] p(x) es resoluble si y sólo si las raíces de p(x) se pueden obtener mediante radicales, y en el caso resoluble da el procedimiento para obtener las raíces [vía resolventes]» (Pedro Sancho de Salas Algebra I 2014).

   Para una ejemplificación de esto para la quíntica, cf. Daniel Lazard Solving Quintics by Radicals 1997 (basado en el resolvente de Cayley 1861, que coincide con el de Jacobi 1835, y que es una transformación del de Malfatti 1771, cf. Dickson Resolvent sextics of quintic equations 1925), Dummit Solving solvable quintics 1991, Lavalle, Spearman & Williams Watson Method of Solving a Quintic Equation 2005 (basado en una ponencia de 1948), Cole Note on solvable quintics 1915 (basado en el resolvente de Runge 1885), Perrin Sur les cas de resolubilite par radicaux de líequation du cinquieme degree 1983 y McClintock Analysis of Quintic Equations 1885 (que describen el mismo resolvente, una covariante del de Cayley, cf. Dickson ib. o Frank Grosshans The Perrin-McClintock Resolvent, Solvable Quintics and Plethysms) o Pierpont Zur Geschichte der Gleichung des V. Grades (bis 1858) 1894 (basado en el resolvente de Malfatti, De AEquationibus Quadrato-cubicis Disquisitio Analytica 1771).

   Por supuesto, toda esta sofisticación no quita que, en casos muy contados, se pueda reducir el grado de la ecuación encontrando algunas de sus soluciones por otros medios (o lo que es lo mismo, factorizando el polinomio), o que ciertos polinomios específicos, como los ciclotómicos, estén completamente entendidos y resueltos.

Sin embargo, de nuevo, esta ruta se nos presenta limitada, pues es incapaz de capturar o describir a la totalidad de los números algebraicos (i.e., los que son raíz de un polinomio)

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Un poco de historia: «Leonhard Euler dividió los números en algebraicos y trascendentes en 1748. En 1844 Liouville obtuvo el primer criterio necesario para que un número sea algebraico, y, por consiguiente, un criterio suficiente para que sea un número trascendente. La teoría general de los números algebraicos enteros fue realizada, casi al mismo tiempo, por Dedekind (1877-1895) y Zolotariov (1874). El cimiento de esta teoría fue construido por Kummer.» Wikipedia

Por otra parte, aunque obvio, merece la pena notar que un mismo número algebraico puede ser solución de infinidad de ecuaciones distintas, como evidencia el teorema fundamental del álgebra.

por el teorema de Abel-Ruffini,

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Abel Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré 1824.

lo que lleva a preguntarme: ¿por qué deberíamos detenernos aquí?

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Este mismo sentimiento está entrañablemente recogido en la introducción de Chow What is a closed-form number? 1999: «When I was a high-school student, I liked giving exact answers to numerical problems whenever possible. If the answer to a problem were 2 / 7 or π√5 or arctan 3 or e^1/e, I would always leave it in that form instead of giving a decimal approximation. [...]

Consider the equation x⁴ − (6√3)x³ + 8x² + (2√3)x − 1 = 0. Its roots are tan (π / 15), tan (4π / 15), tan (7π / 15), tan (13π / 15). These seemed to me to be perfectly good closed-form expressions. Although in this particular case the roots could also be expressed in terms of radicals, it seemed to me that there might exist algebraic numbers that were not expressible using radicals but that could still be expressed in closed form —say, using trigonometric or exponential or logarithmic functions [aka elementary functions]. So as far as I was concerned, Galois theory was not the end of the story.».

Como notan en Wolfram MathWorld Closed-Form Solution:

An equation is said to be a closed-form solution if it solves a given problem in terms of functions and mathematical operations from a given generally-accepted set.

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Huelga decir que las soluciones algebraicas son una instancia de solución en forma cerrada (con el conjunto de operaciones ya mencionadas). Para un vistazo rápido de otros posibles conjuntos de operaciones, véanse las tablas en Wikipedia Closed-form expression y en el overview de Robert Munafo RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution (que personalmente encuentro un proyecto fascinante, aunque, obvio, no desproblematiza a los métodos numéricos). Para ejemplos más sofisticados, cf. Borwein & Crandall Closed Forms: What They Are and Why We Care 2013, sec. 1.2.2 (anillo de hiperclausura de C, generado por todas las evaluaciones de las funciones hipergeométricas generalizadas, que incluye a todos los números algebraicos) y 1.2.3 (la medida logarítmica de Mahler de un polinomio en n-variables y la superclausura de los valores racionales de Γ ). Para un ejemplo no tan elaborado, pero aun así más abarcador que el de solución algebraica, cf. Chow ib., sec. 2.

Bosquejo de Chow: los números EL (Exponencial-Logarítmico) E son el menor subcuerpo de C cerrado bajo las operaciones de exponenciación y logaritmo complejo (rama principal). I.e., E = ∪ _nE_n con E₀ = {0} y E_n los números complejos obtenidos de aplicar + , - , ⋅ , ÷ , exp , ln a E_{n - 1}. Ello incluye también a las raíces n-ésimas, pues ⁿ√a = e^{1/n ln a} (valor principal; el resto mediante las demás ramas del logaritmo, demostrando que 2πi ∈ E), pero no todos los números algebraicos (Chow sec. 3).

Chow toma como inspiración Richardson The elementary constant problem 1992 sec. 6, donde se define L (Liouvillian numbers, a no confundir con Liouville numbers) como el menor subcuerpo algebraicamente cerrado de C cerrado bajo las operaciones de exponenciación y logaritmo, de modo que E ⊂ L, que podemos tomar como n-ésimo contendiente para una definición de forma-cerrada a medio camino entre las expresiones algebraicas y las analíticas. Richardson establece además que «Algebraic numbers ⊂ Liouvillian numbers ⊂ strictly Triangular numbers ⊂ Elementary numbers», donde: «The elementary numbers are the complex numbers which can be implicitly or explicitly defined by starting with the rationals and using addition, subtraction, multiplication and exponentiation. More explicitly, an elementary point is a non-singular solution of n equations, involving exponential polynomials, in n unknowns; and an elementary number is obtained by applying an exponential polynomial to an elementary point.».

Por último, recalcar que el nombre «forma-cerrada» se deriva de la noción de operación binaria cerrada (aka interna) y, más en general, de clausura, cf. Wikipedia Closure_(mathematics). Así, yéndonos en la dirección contraria, tenemos que, como la suma es cerrada para los naturales, las expresiones de sumas de naturales constituyen también una forma-cerrada.

For example, an infinite sum would generally not be considered closed-form. However, the choice of what to call closed-form and what not is rather arbitrary since a new "closed-form" function could simply be defined in terms of the infinite sum.

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Sobre su arbitrariedad: «Mathematics abounds in terms that are in frequent use yet are rarely made precise. Two such are rigorous proof and closed form (absent the technical use within differential algebra). If a rigorous proof is “that which ‘convinces’ the appropriate audience,” then a closed form is “that which looks ‘fundamental’ to the requisite consumer.” In both cases, this is a community-varying and epoch-dependent notion. What was a compelling proof in 1810 may well not be now; what is a fine closed form in 2010 may have been anathema a century ago [o para alguien con menor formación matemática. Así, e.g., la noción de forma cerrada puede limitarse a sumas de naturales para alguien de 3 años].». Borwein & Crandall Closed Forms: What They Are and Why We Care 2013.

Due to the lack of specificity in the above definition, different branches of mathematics often adopt more precise meanings of the term closed-form to apply to concepts therein. For example, within differential algebra,

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Y más concretamente, la teoría diferencial de Galois (aka teoría de Picard–Vessiot). De hecho, toda teoría de Galois es, en esencia, la caracterización de las formas cerradas de su respectivo contexto. Como exponen en el prefacio de Khovanskii Topological Galois Theory 2013 (Topologicheskaya Teoriya Galua 2008):

«Numerous unsuccessful attempts to solve certain algebraic and differential equations “in finite terms” (i.e., “explicitly”) led mathematicians to the belief that explicit solutions of such equations simply do not exist. [...]

The first proofs of the unsolvability of algebraic equations by radicals were given by Abel and Galois. While thinking about the problem of explicit indefinite integration of an algebraic differential form, Abel laid the foundations for the theory of algebraic curves. Liouville continued Abel’s work and proved that indefinite integrals of many algebraic and elementary differential forms are not elementary functions. Liouville was also the first to prove the unsolvability by quadratures of many linear differential equations.

It was Galois who first saw that the question of solvability by radicals is related to the properties of a certain finite group (now called the Galois group of an algebraic equation). Indeed, the notion of a finite group as introduced by Galois was motivated exactly by this question. Sophus Lie introduced the notion of a continuous transformation group while trying to solve differential equations explicitly by reducing them to a simpler form. To each linear differential equation, Picard associated its Galois group, which is a Lie group (and moreover, a linear algebraic group). Picard and Vessiot then showed that this particular group is responsible for the solvability of equations by quadratures. Next, Kolchin elaborated the theory of algebraic groups, completed the development of Picard–Vessiot theory, and generalized it to the case of holonomic systems of linear partial differential equations.

Vladimir Igorevich Arnold discovered that many classical questions in mathematics are unsolvable for topological reasons. In particular, he showed that a generic algebraic equation of degree 5 or higher is unsolvable by radicals precisely for topological reasons. Developing Arnold’s approach, I constructed in the early 1970s a one-dimensional version of topological Galois theory. According to this theory, the way the Riemann surface of an analytic function covers the plane of complex numbers can obstruct the representability of this function by explicit formulas. The strongest known results on the unexpressibility of functions by explicit formulas have been obtained in this way. I had always been under the impression that a fullfledged multidimensional version of this theory was impossible. Then in spring 1999, I suddenly realized that, in fact, one can generalize the one-dimensional version of topological Galois theory to the multivariable case [...], which says, in particular, that linear differential equations with unsolvable monodromy group are not solvable by quadratures.».

El libro incluye también la discusión de las «beautiful constructions, due to Liouville, of the class of elementary functions, the class of functions expressible by quadratures, and so on, and his theory of elementary functions, which had a strong impact on all subsequent work in this area.».

Por supuesto, dados los paralelismos entre estas teorías, huelga decir que pueden abstraerse en una sola. Como se expone en el abstract de Olivia Caramello Topological Galois Theory 2016 (Advances in Mathematics): «We introduce an abstract topos-theoretic framework for building Galois-type theories in a variety of different mathematical contexts; such theories are obtained from representations of certain atomic two-valued toposes as toposes of continuous actions of a topological group. Our framework extends Grothendieck's theory of Galois categories and allows to build Galois-type equivalences in new contexts, such as for example graph theory and finite group theory.».

a function is said to be of closed-form if it is contained in some so-called Liouvillian extension field of a field K ≃ C(z), i.e., if they are obtained from rational functions by a finite sequence of adjunctions of exponentials, indefinite integrals, and algebraic functions (Churchill and Kovacic 2006). These functions are also referred to as Liouvillian (though not to be confused with the Liouville function), as well as by the even more unfortunate term "elementary".

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En Wolfram MathWorld Liouville's Principle puede verse un hermoso resultado al respecto, para el que incluso hay un algoritmo constructivo (cf. Risch The solution of the problem of integration in finite terms 1970). Para ejemplos de sus limitaciones, cf. Wikipedia Nonelementary integral.

It is worth noting that the adjective "closed" is used to describe a number of mathematical notions, e.g., the notion of closed form. Loosely speaking, a discrete function is of closed form if it shares certain essential properties with the hypergeometric function, a function which itself is defined to be the solution of the so-called hypergeometric differential equation. This particular notion of closedness is completely separate from the notion of closed-form expression as discussed above. In particular, the hypergeometric function (and hence, any closed-form function inheriting its properties) is considered a "special function" and is not expressible in terms of operations which are typically viewed as "elementary." What's more, certain agreed-upon truths like the insolvability of the quintic fail to be true if one extends consideration to a class of functions which includes the hypergeometric function, a result due to Klein (1877).

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Weitere Untersuchungen Über Das Ikosaeder. Para contextualizarlo un poco: «About 1835, Jerrard [en su Mathematical Researches] demonstrated that quintics can be solved by using ultraradicals (also known as Bring radicals), the unique real root of t⁵ + t − a = 0 for real numbers a [y reduciendo la quíntica a la forma x⁵ + px + q = 0 mediante transformaciones de Tschirnhaus]. In 1858 Charles Hermite [Sur la résolution de l'équation du cinquième degré] showed that the Bring radical could be characterized in terms of the Jacobi theta functions and their associated elliptic modular functions, using an approach similar to the more familiar approach of solving cubic equations by means of trigonometric functions. At around the same time, Leopold Kronecker [Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite 1858], using group theory, developed a simpler way of deriving Hermite's result, as had Francesco Brioschi [Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado 1858]. Later, Felix Klein came up with a method that relates the symmetries of the icosahedron, Galois theory, and the elliptic modular functions that are featured in Hermite's solution, giving an explanation for why they should appear at all, and developed his own solution in terms of generalized hypergeometric functions.» Wikipedia Quintic function, tomado de Klein Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree 1888 (II.I.1-8), donde también se reexpone (II.III) su artículo original (para una exposición moderna, cf. Gabor Toth Finite Mobius Groups, Minimal Immersions of Spheres, and Moduli 2001, 1.6).

Complementariamente, merece la pena notar que: «El teorema de las funciones implícitas del Análisis nos dice que en general las raíces de un polinomio se pueden expresar como funciones diferenciables de los coeficientes del polinomio.» (Pedro Sancho de Salas Algebra I 2014). Y puestos a admitir formas menos explícitas, las fórmulas de Newton-Girard y las relaciones de Cardano-Vieta también son relevantes a este respecto.

Por último, para una exposición moderna del enfoque original de Jerrard, cf. Albert Eagle Series for all the Roots of a Trinomial Equation 1939, y para sus limitaciones, cf. Daniel Miller Using higher-order Bring radicals to solve arbitrary polynomials 2011 (mathoverflow). Lo reivindico porque, en cierto modo (un tanto retorcido, quizá), sí describe una solución algebraica (si nos permitimos extender su significado original, que como nota Wolfram MathWorld, no deja de ser medio arbitrario), a diferencia de sus sucesores, que lo replantean en términos más analíticos. Aunque, por supuesto, esto es debatible, lo mismo que si los cuaterniones deberían considerarse o no un cuerpo (i.e., si la conmutatividad debería incluirse o no en la definición de cuerpo).

Es interesante notar que MathWrold tiene también una entrada para Exact Solution:

As used in physics, the term "exact" generally refers to a solution that captures the entire physics and mathematics of a problem as opposed to one that is approximate, perturbative, etc. Exact solutions therefore need not be closed-form.

No en balde, ciertos números se expresan en términos de límites, series e integrales, como la constante de Euler-Mascheroni o la de Gompertz.

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En Tanguy On the arithmetic nature of the values of the gamma function, Euler's constant, and Gompertz's constant 2012 se demuestra que alguno de estos dos tiene que ser trascendente.

Y en cualquier caso, la existencia de números trascendentes pone de manifiesto las limitaciones de las soluciones algebraicas, o de cualquier extensión suya que se limite a los números algebraicos (como Bring o Chow).

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Técnicamente, Chow va más allá de los números algebraicos para algunas de sus extensiones, pero no hasta el punto de capturar a todos los trascendentes (como ya debería ser evidente a estas alturas).

2.3 Innecesariedad

Retomando Nota al pie 6, del mismo modo que la exactitud numérica nos es irrelevante (dentro de un margen de error dependiente del contexto), como se hace evidente cuando dicha exactitud deviene inabarcable, incomprensible, inmanejable..., también la exactitud algebraica (o analítica, o del tipo que se quiera) se queda a menudo en la mera curiosidad: no es casual que no se enseñen ni usen las fórmulas de Cardano-Ferrari para la resolución de la cúbica y la cuártica, «which are generally not convenient for numerical evaluation, as being too complicated and involving the computation of several nth roots whose computation is not easier than the direct computation of the roots of the polynomial» (Wikipedia Root-finding algorithms)

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Daniel Lazard Thirty years of Polynomial System Solving, and now? 2008 es aun más tajante: «As with many informal questions, the answer to the question what is solving? is not evident. Moreover, its answer varies with the progress of solving methods. [...] But this introduces another question: How the solutions are represented? [...] There are several ways to represent the solutions; however, if K is the field Q of the rationals, to be useful in practice the representation of the solutions should contain a real or a complex approximation of the solutions (or should allow it to be computed easily). In the case of the algebraic closure of a finite field, where approximations are not available, another representation is needed. Note that this question of the output specification is the modern form of the long standing debate on solving univariate equations either by radicals or by approximations. It also underlies the problem of constructions by ruler and compass [...]

The importance of these questions seems to be frequently undervalued, especially the need for clear specification of the problem to be solved as well as of the algorithms developed to solve it. However, when I began to work on the subject, at the end of the seventies, they were completely ignored.».

(De hecho, incluso me ha tentando decir que los métodos numéricos pueden usarse igualmente para resolver ecuaciones lineales, aunque he tenido la precaución de testearlo antes para no decir semejante barbaridad.)

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A pesar de mantener esta dualidad entre soluciones numéricas y algebraicas, nótese que también podemos hacer uso de soluciones gráficas (representando el polinomio). O en vistas al PhD Wanda Díaz-Merced Sound for the exploration of space physics data 2013, quizá incluso sonoras.

Por supuesto, si dicha solución no es el paso final de nuestro problema, y queremos operar sobre ella, alguien podría alegar que la la expresión algebraica es preferible, pues podría simplificarse en este proceso subsiguiente. Sin embargo, esto no sólo sería engorroso, sino, hasta cierto punto, innecesario: así como una fracción representa un ratio, y es la expresión misma del número que queremos señalar (sin necesidad de bajar a su expresión decimal), también un polinomio puede verse, no como a un problema a resolver, sino como a la solución misma, en tanto que es la expresión simbólica del objeto en sí al que queremos hacer referencia.

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Análogamente, toda integral (en una variable real, por simplicidad) es exacta, en tanto que describe de manera precisa un área bajo una curva.

Tal vez esto suene muy etéreo (o incluso filosófico), pero lo cierto es que las variedades algebraicas (el objeto de estudio de la geometría algebraica) justo se definen como conjuntos de soluciones (aka conjuntos algebraicos, o de raíces, o de ceros) en abstracto. Y por el teorema fundamental del álgebra, tampoco nada nos impide trabajar con las raíces en abstracto, y reagruparlas convenientemente para hacerlas cero (en caso de poderse).

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De hecho, justo una de las utilidades de las fórmulas de Newton-Girard y las relaciones de Cardano-Vieta es poder evaluar ciertas expresiones de las raíces de un polinomio sin tener que calcularlas.

O incluso arrastrar a los polinomios mismos (como quien arrastra soluciones algebraicas), que no dejan de ser un anillo análogo a los enteros.