La paradoja de Russell para principiantes (bosquejo)

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La paradoja de Russell
para principiantes

bosquejo

Fuentes principales:

1. Stanford Encyclopedia of Philosophy Russell’s Paradox
2. Wikipedia Russell's paradox

1 Contexto

1.1 Histórico

«Russell wrote to Frege about the paradox in Begriffsschrift (1879) just as Frege was preparing the second volume of his Grundgesetze der Arithmetik [que se fundaba en la NST de su Begriffsschrift]. Frege responded to Russell very quickly and then wrote an appendix admitting to the paradox,

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«Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion».

and proposed a solution that Russell would endorse in his Principles of Mathematics (1903),

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«denying that two propositional functions that determine equal classes must be equivalent. As it seems very likely that this is the true solution,». I.e., si $\phi ,\psi$ son dos wff con una variable libre tales que $\{x:\phi \left(x\right)\}=\{x:\psi \left(x\right)\}$, entonces no se sigue necesariamente que $\phi \equiv \psi$. (lo que es una solución bastante ad hoc y extraña, a mi parecer)

but was later considered by some to be unsatisfactory. For his part, Russell had his work at the printers and he added an appendix on the doctrine of types.»

1.2 Matemático

En la teoría de conjuntos ingenua (NST) de Frege, por la Basic Law V (aka BLV),

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O en terminología moderna, axioma de comprensión no restringido.

siempre puedo (tiene sentido) considerar la colección de objetos cumpliendo una propiedad $\phi$ dada, la clase $\{x:\phi \left(x\right)\}$. O en otras palabras, los objetos del mundo son siempre susceptibles de ser agrupados en función de cualquier criterio $\phi$, reuniéndolos así en una misma colección según si comparten o no una característica común (i.e., si cumplen el criterio $\phi$).

Por ejemplo, puedo considerar la clase de las sillas, que contiene todas las sillas. O más formalmente, ClaseSilla = {los objetos que son sillas}, donde:

1. las llaves indican colecciones de elementos, sin tener en cuenta el orden
2. su significado preciso depende de si la colección se describe de manera:
   1. extensional: un elemento $c$ es de $\{a,b\}$ ssi $c=a$ ó $c=b$ (axioma del par, que se extiende fácilmente a colecciones finitas)
   2. intensional: un elemento $d$ es de $\{x:\phi \left(x\right)\}$ ssi $\phi \left(d\right)$, i.e., ssi $d$ satisface $\phi$ (BLV).

Notar también que:

1. El símbolo «:» de $\{x:\phi \left(x\right)\}$ se lee «tal que».
2. Podemos reescribir más formalmente ClaseSilla como $S=\{x:x es una silla\}$
3. Si un elemento $x$ es de (o pertenece a) una clase $X$, escribimos $x\in X$.
4. Si un elemento $x$ no es de $X$, escribimos $x\notin X$, o $x\in X^c$, donde $X^c$ es la clase complementaria de $X$:
   1. Si $X=\{x:\phi \left(x\right)\}$, entonces $X^c=\{x:\neg \phi \left(x\right)\}$, con $\neg \phi$ la negación de $\phi$.
   2. En aras de la exhaustividad, en general se define $X^c=U\setminus X$, aunque esto no lo vamos a necesitar.

2 Paradoja

2.1 Preliminares

Russell observa que podemos particionar las clases en:

1. aquellas que se contienen a sí mismas (i.e., que pertenecen a la categoría que describen)
2. y las que no.

E.g., recuperando nuestro ejemplo anterior, tenemos que $s\in S$ ssi $s$ es una silla, luego claramente $S\notin S$.

2.2 Argumento

Consideremos $y=\{x:x\notin x\}$, que existe por BLV, y que es no vacío (pues $S\in y$).

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No confundir con $\{x:x\ne x\}$, que sí es vacío.

Si $y\in y$, entonces $y\notin y$ por definición de $y$. Y si $y\notin y$, entonces $y\in y$ por definición de $y$. Pero $y\in y\bigvee y^c$ por el axioma de tercero excluido, luego BLV es falso.

2.3 Cierre

Aunque la notación $y\in y^c$ puede parecer un poco rara, lo cierto es que la mayoría de las clases son de este tipo, y de hecho no hay conjuntos que no lo sean por el axioma de fundación (aka de regularidad): todo conjunto no vacío contiene un elemento para con el que es disjunto. Prescindiendo de éste, entonces podemos considerar la excepción $y=\{y\}=\{x:x=y\}$.

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Fuente: math.stackexchange Example of set which contains itself 2012-12-8.

3 Reformulaciones no matemáticas

3.1 Grelling–Nelson paradox

«Suppose that every public library has to compile a catalogue of all its books. Since the catalogue is itself one of the library's books, some librarians include it in the catalogue for completeness; while others leave it out as it being one of the library's books is self-evident.

Now imagine that all these catalogues are sent to the national library. Some of them include themselves in their listings, others do not. The national librarian compiles two master catalogues—one of all the catalogues that list themselves, and one of all those that don't.

The question is: should these master catalogues list themselves? The 'Catalogue of all catalogues that list themselves' is no problem. If the librarian doesn't include it in its own listing, it remains a true catalogue of those catalogues that don't include themselves. If the librarian does include it, it remains a true catalogue of those that list themselves.

However, just as the librarian cannot go wrong with the first master catalogue, the librarian is doomed to fail with the second. When it comes to the 'Catalogue of all catalogues that don't list themselves', the librarian cannot include it in its own listing, because then it would include itself, and so belongs to the other catalogue, that of catalogues that do include themselves. However, if the librarian leaves it out, the catalogue is incomplete. Either way, it can never be a true master catalogue of catalogues that do not list themselves.»

Resumiendo, divido mi biblioteca en dos: una sección con los libros que se referencian a sí mismo, y otra con los que no. Y luego, redacto un catalogo para cada sección. Y entonces me pregunto, ¿el catalogo de los libros que no se referencian a sí mismos, en que sección debería ir?

Si a la que no se referencian a sí mismos, entonces debería listarse a sí mismo, pero entonces dejaría de pertenecer a ella. Y si a la que se referencian a sí mismo, entonces debería listarse a sí mismo, pero entonces ya no está listando a los libros que no se listan a sí mismos.

3.2 Barber paradox

«That contradiction is extremely interesting. You can modify its form; some forms of modification are valid and some are not. I once had a form suggested to me which was not valid, namely the question whether the barber shaves himself or not. You can define the barber as "one who shaves all those, and those only, who do not shave themselves". The question is, does the barber shave himself? In this form the contradiction is not very difficult to solve.

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Diciendo que tal barbero no existe, o que es calvo. «The whole point of Russell's paradox is that the answer "such a set does not exist" means the definition of the notion of set within a given theory is unsatisfactory. Note the difference between the statements "such a set does not exist" and "it is an empty set". It is like the difference between saying "There is no bucket" and saying "The bucket is empty".»

But in our previous form I think it is clear that you can only get around it by observing that the whole question whether a class is or is not a member of itself is nonsense, i.e. that no class either is or is not a member of itself, and that it is not even true to say that, because the whole form of words is just noise without meaning.»  Russell, The Philosophy of Logical Atomism (1918).

4 Soluciones

La axiomática de Zermelo (1908) y la teoría de tipos jerárquicos de Russell y Whitehead (Principia 1910–3)

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Que guarda una vaga semejanza con la solución de la paradoja del mentiroso de Bradwardine (1320s), cf. Stephen Read Thomas Bradwardine and Epistemic Paradox 2011.

son soluciones alternativas al problema, aunque no las únicas. De hecho, toda axiomática de conjuntos tiene su propia respuesta:

1. Zermelo cambia BLV por el axioma de comprensión restringido, i.e., $\{x:\phi \left(x\right)\}$ por $\{x\in z:\phi \left(x\right)\}$
2. NF (1937) por el de comprensión estratificada, i.e., BLV con $\phi$ estratificada (que básicamente sigue la filosofía de tipos de los Principia)
3. NBG (1925, 1937, 1940) distingue entre clase (lo que describe BLV) y conjunto
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   Esta distinción también está presente en ZFC y sus «clases propias», e incluso en las «multiplicidades inconsistentes» de la NST de Cantor, pero en dichas teorías no se consideran a éstas objetos propios o genuinos de la misma, sino un modo de abreviar la notación, una suerte de «objetos fantasmas» (cf. Alonso et al. Curso Práctico de Teoría de Conjuntos 1998).
4. etc.

Otra alternativa es el neo-logicismo de Crispin Wright (1983), que sustituye BLV por el Principio de Hume–Cantor: dos conjuntos tienen la misma cardinadidad ssi son biyectables. Su razonamiento es el siguiente: como Frege únicamente usa BLV para probar este resultado, a través del cual funda toda la aritmética, basta tomar como axioma PHC en lugar de BLV para lograr dicho fin.

Sin embargo, esta solución es algo corta de miras, a mi parecer: en tiempos de Frege, la teoría de conjuntos y similares sólo tenían interés fundante (de la aritmética y, por extensión, el resto de la matemática), pero hoy en día son automotivadas y tienen aplicaciones en aspectos más avanzados (como la demostración de que, el ahora llamado axioma de determinación proyectiva, es indemostrable en ZFC). Y esto sin entrar en la potencia y comodidad notacional de BLV, que pervive en ZFC en la forma de «clase propia».

En otras palabras, aunque su aproximación puede tener cierto interés filosófico, dudo que ningún matemático vaya a renunciar a BLV (en alguna de sus formas restringidas) por ella.

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Aunque si los intuicionistas renunciaron al tercero excluido... ¡quién sabe!

«El descubrimiento de los irracionales, lejos de lamentarlo por haber revelado una contradicción en las matemáticas pitagóricas, lo consideramos hoy como una de las grandes victorias del espíritu humano»

Dieudonné?