¿Cuánta información sensorial necesito para hacer matemática?

Un experimento mental

Sogol Thamaem

No es necesario apelar al cuasi-empirismo de Quine para admitir que la experiencia sensible puede influir de manera determinante al desarrollo de la matemática: sus orígenes están íntimamente ligados a la geometría, y cuando empezó a emanciparse de ella durante el s. XVII, lo hizo por un álgebra instrumentalizada a un cálculo infinitesimal emergido de las necesidades de la física. Y aunque mucha de la concepción moderna de la disciplina viene de Descartes (La Géométrie 1637), su rigor demostrativo, abstraído de la empírea, no llegaría hasta Bolzano (fl. 1810–37) y su relevo intelectual, la generación de Hilbert.

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En sentido amplio, desde Grassman (fl. 1844–62), Dedekind (fl. 1863–88), etc. hasta Bourbaki (fl. 1940s–50s).

Ahora bien, la existencia de estos últimos podría sugerir a alguien una hipotética historia alternativa en la que lo empírico hubiera jugado un papel mucho menor en el desarrollo de la matemática, pues... ¿se limitan estos métodos a borrar las huellas de las intuiciones sensibles, o en verdad son posibles sin ellas?

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«er macht es wie der Fuchs, der wischt mit dem Schwanze seine Spuren im Sande aus». Abel sobre Gauss, carta del 1825-12-5.

Mi primer impulso ante semejante cuestión es tratar de imaginarme sin dichos datos sensoriales y reconstruir desde ahí todo el edificio matemático, o al menos sus fundamentos. Sin embargo, ¿es acaso esto posible?

Por una parte, no me basta simplemente con imaginarme sin mis sentidos, pues aun tendré en mí su recuerdo y sus intuiciones, sino que debería haber nacido sin ellos. Por otra, alguien podría aun argumentar que eso sería insuficiente, pues parte de esas intuiciones están recogidas en mis genes y son por ende innatas, apelando a la epistemología genética de Piaget o la imitación en neonatos de Meltzoff (1977), y adentrándose en el debate nature versus nurture. Y si bien es cierto que nacemos en una suerte de estado de agnosia, en el que no se reconoce el color, el tamaño ni la orientación de los objetos,

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Cf. The development of sensory, motor and cognitive capacities in early infancy: from sensation to cognition (1998), Butterworth University of Sussex.

también hay que tener presente que lo genes son instrucciones que tardan un tiempo en ejecutarse, como ponen de manifiesto los experimentos de Piaget entorno a su teoría del desarrollo cognitivo, y que sólo se expresan bajo ciertas condiciones, como revela la epigenetica.

A pesar de todas estas limitaciones, mi primer impulso se me antoja irrefrenable, llevándome a explorar en un anexo las vidas más cercanas a dicha experiencia asensorial a modo de proxy,

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Idea en el que no estoy sólo: «Maybe we should think about why this is, why it is easier for them to work with computers, which are also blind and deaf? If two or three famous mathematicians and a psychologist, of course, were to focus on this question, they might get to the very roots of thought.» Znanie The Best Path to Man 1975.

así como la viabilidad realizativa misma del proyecto. Y viendo frustrada dicha ruta, y siendo incapaz de imaginar nada sino es a través de intuiciones que han sido en última instancia derivadas de estímulos externos, termino rindiéndome a la máxima «aunque no todos los conocimientos y pensamientos se acaban en la experiencia, todos empiezan en ella», pues... ¿cómo puedo siquiera plantear una tautología como «los calvos no tienen pelo» si ni siquiera tengo el concepto empírico de pelo?, ¿cómo puedo pensar en un triángulo sin haber visto u oído o tocado o... unidades (1,2,3...), rectas y cortes entre ellas?, ¿cómo puedo afirmar que $\forall x\left(x=x\right)$ si no tengo una noción de diferencia que de sentido a la igualdad y a las cosas?

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«algebra is a highly developed logic, and number but logical discrimination.» John Stuart Mill System of Logic 1843.

Ahora bien, esto nos lleva de manera natural a la siguiente pregunta: ¿cuál es la mínima cantidad de información sensorial necesaria para desarrollar una matemática? Quizá algo tan aparentemente nimio como el tacto de los propios dedos, incluso únicamente del proximal del pulgar con el del índice, sería suficiente rudimento como para adquirir las intuiciones básicas sobre las que construir racionalmente la matemática, entendiendo: la unidad como pulsación para la aritmética, la continuidad y las formas como caricias para el análisis y la geometría plana, la tridimensionalidad en su volumen y contorno, la topología en su deformación y corte, etc.

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Nótese que la respuesta no tiene porque ser única (y que de hecho la pluralidad de conjuntos minimales es preferida, en una suerte de argumento por premisas conjuntas [conjointly]), ya que es difícil de juzgar si una aritmética basada en la pulsación háptica es más o menos elemental que la misma pulsación recibida por medios auditivos.

Esta pregunta creo que tiene interés no sólo epistemológico, sino también pedagógico y heurístico. Y qué debería hacerse no sólo para los fundamentos (ora los naturales a la Kronecker, ora los conjuntos a la Dedekind, ora los topoi a la Peter Johnstone...), sino también sobre cada una de las definiciones de una teoría (conjuntos, topología, grupos y demás estructuras algebraicas...), así como las reglas de juego empleadas para desarrollarla (ora la lógica clásica, ora la intuicionista, etc.).

Personas sin sentidos, pero con propósito

1. Casos de ceguera de nacimiento, o casi,
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   Nótese que la amnesia infantil usualmente se da entre los 3 y 4 años, con un rango de 2 a 8, como ejemplifican los vívidos recuerdos visuales de Skorokhodova (5) y Morin (6).
   en la academia
   1. Abraham Nemeth (1918–2013): master en psicología 1942, profesor de matemáticas desde 1946 (a tiempo completo a 1954); inventor de un STEM-braile a 1952, con el que obtiene el doctorado a 1964, y precursor de MathSpeak; mini memorias en speech October 18, 2004.
   2. Larry Wos (1930): Ph. D en teoría de grupos a 1957, cuando se une a Argonne (división de deducción automática a 1963, por cuyas contribuciones le premia la AMS en 1983, y que llevaran a la demostración de la conjetura de Robbins en 1997); breve bio en Obermiller Top of his game 1997.
   3. Kent Cullers (1949): PhD en astronomía a 1980, cuando se une al proyecto SETI de la NASA en procesamiento de señales.
   4. Henry Wedler (1987?): PhD en química orgánica a 2017, TEDxSonomaCounty Sensory Literacy 2017.
   5. Rambhadracharya (1950): a los 2 meses, PhD 1981 en gramática sánscrita, erudito y líder espiritual védico a 1988, poeta y exegeta prolífico, autobiografía en The Holy Journey of a Divine Saint (2002).
   6. Ron McCallum (1948): 3 meses, Master of Laws 1974, profesor y abogado laboralista, memorias en Born at the right time (2019).
   7. Zach Battles (1980?): crea Chebfun como parte de un programa de doctorado en análisis numérico financiado por la beca Rhodes (2001–5).
   8. Nicholas Saunderson (1682–1739): con 1 año, querido profesor Lucasiano (1711–39), renueva el decadente currículum de Cambridge, dando la primera introducción sistemática al cálculo diferencial para hacer más accesible al alumnado los Principia de Newton (1687); teorema de Bayer y ábaco para ciegos, aka «palpable arithmetic».
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      Cardano ya había sugerido la idea de usar el tacto como sustituto de la vista, y Zayn al-Din al-Amidi (1312) ya había ideado un sistema análogo al Braile, aunque ambos se perdieran en la historia.
   9. Sir Rupert Cross (1912–1980): con 1 año, Bachelor of Civil Law 1937, PhD 1958, Cross on Evidence (1959) reeditada en 2020 por doceava vez.
   10. Taha Hussein (1889–1973): a los 2 años, PhD 1914 en poesía y 1917 en historia, profesor y prolífico crítico, ensayista y novelista nominado al Nobel de literatura en 1949–52 y 1960–5, autobiografía en tres volúmenes Al-Ayyām (1926-7, 1940, 1955).
2. Casos de ceguera temprana en ciencia
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   «So a blind person who has regained his eyesight can at first not distinguish between a square and a circle. He just sees their topological equivalence. On the other hand he sees immediately that a torus is not a ball.» Sossinski Genèse d’une Théorie Mathématique 1999, extraído de Allyn Jackson The World of Blind Mathematicians 2002.

   «Diderot was one of the few philosophers to involve blind people in his research, and he concluded that touch was able to give his informant a sense of three-dimensional objects. Diderot argued that changes in scale presented few problems for his subject, and that blind people can enlarge or shrink shapes mentally. This spatial imagination often consists of recalling and recombining tactile sensations» Jacobson et al. Rethinking theories of blind people’s spatial abilities 1999.
   1. Gerrit van der Mey (1914–2002): a los 4, PhD 1947 en curvas algebraicas, dos años después de quedarse sordo; se une a Leidschendam PTT Lab como programador a 1951.
   2. Larry Baggett (1939): 5, PhD 1966 en topología, profesor de análisis, memorias en In the Dark on the Sunny Side (2012).
   3. Bernard Morin (1931–2018): 6, PhD 1972 en teoría de la singularidad; primera publicación de la eversión de la esfera (1979, modelos en barro 1967), y primera parametrización de la superficie de Boy (1978).
   4. Caryn Navy (1953): visón limitada al rabillo de un ojo de nacimiento (perdida total a los 10), PhD 1981 Nonparacompactness in Para-Lindelöf Spaces, importante breakthrough en teoría de la metrizabilidad (una rama de la topología); bio en Mathematician and Computer Scientist, Caryn Navy 1988.
   5. Norberto Salinas (1940-2005): 10, PhD 1970 en álgebra lineal, profesor y proponente junto a John A. Gardner de un STEM-braile alternativo (GS8 1997?).
      1. John A. Gardner (1939): 20–40% visión en un ojo de nacimiento (total a 1988, cuando crea la empresa ViewPlus), PhD 1966 en física del estado sólido.
   6. Emmanuel Giroux (1961): 11, PhD 1991, teorema de libros abiertos a 2000 (Proceedings of the ICM 2002), puente entre la geometría de contacto y la topología diferencial.
   7. Victor Eberhard (1861–1927): 13, PhD 1885 en involuciones, habilitación 1888 probando el teorema homónimo sobre combinatoria poliédrica.
   8. T. V. Raman (1965): 14 (limitada a un ojo de nacimiento), PhD 1994 AsTeR (Audio System For Technical Readings), se une a Google a 2005.
   9. Chieko Asakawa (1958): 14, investigadora en IBM desde 1984 (Home Page Reader 1997, primer navegador web de voz), PhD 2004 en ingeniería.
   10. Lev Pontryagin (1908–1988): 14, PhD 1935; precoz y prolífico, devino uno de los grandes matemáticos del s. XX.
3. Otros casos no tan tempranos pero pre-formativos
   1. Anatoli Georgievich Vitushkin (1931–2004): 18, PhD 1957 bajo Kolmogorov en cálculo de variaciones, experto en análisis complejo y el 13r problema de Hilbert.
   2. Olga Hahn(-Neurath) (1882–1937): 20, PhD 1911 Über die Koeffizienten einer logischen Gleichung und ihre Beziehungen zur Lehre von den Schlüssen en filosofía y matemática, perteneciente al círculo de Viena y experta en álgebra booleana.
   3. Jonathan Nash Hearder (1809–1876): 22, ingeniero eléctrico, innovo en el campo de las bobinas eléctricas (premiado a 1856 por la Real Sociedad Politecnica de Cornwall) y de los procedimientos experimentales para personas de visión limitada.
   4. Wanda Díaz-Merced (1982): 20s, PhD 2013 Sound for the exploration of space physics data.
4. Casos de sordoceguera temprana con registros
   1. Helen Keller (1880–1968): a los 19 meses, Bachelor of Arts 1904 y activista, memorias en The Story of My Life (1903) y The World I Live In (1908).
   2. Robert Smithdas (1925–2014): a los 4.5 años, 1953 master en vocational rehabilitation and guidance (y PhDs honorarios), profesor y poeta (Poet of the Year 1960-61 por Poetry Society of America), memorias en Life at My Fingertips (1958).
   3. Olga Skorokhodova (1911–82): a los 5 años (sordera total a los 10), poeta e investigadora en el Instituto para los Discapacitados de la Academia de Ciencias de la Educación de la URSS a 1948, PhD 1961, memorias en How I perceive, imagine and understand the surrounding world 1972.
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      «I sometimes did not understand why the poker and the oven forks fought with me or why buckets of water, dogs and pigs kept getting in my way, or why the knife cut not the bread but my finger, or why the water I poured into the cup scalded my fingers if it were hot. Many things were not as I imagined or would have liked them to be. But this did not mean that I always had to be afraid of the treachery of the objects around me in the unknown spaces.» Aspects of the Formation of Concepts in the Deaf, Dumb, and Blind, extraido de Karl Levitin Not Born a Personality 1982.
   4. Haben Girma (1988): progresiva durante la infancia temprana, PhD 2013 en jurisprudencia, abogada; memorias en Haben: The Deafblind Woman Who Conquered Harvard Law (2019).

Aunque no he encontrado casos de HSAN2, HSAN5, etc. (que presentan anaphia, etc.), sí me he topado con una pregunta parecida en philosophy.stackexchange, How would someone think if he/she was born without any senses? (2016), donde traen a colación:

1. El «cerebro en una cubeta» de Putman, que obliga a replantear la cuestión a «¿cómo piensa un cerebro humano que no haya experimentado estímulos sensoriales?», así como preguntarnos «¿qué entendemos por empirismo, o estímulo externo?», pues, ¿mantener con vida dicho cerebro no lo estimularía ya? «changes to their body would still effect their mind —there is no thinking independent of sensation, even if sensation becomes entirely unconscious» user25714.
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   Cuando leí el comentario me explotó la cabeza, concibiendo un cerebro ajeno a la existencia de un mundo externo del que en última instancia dependía: ¿cómo explicaría éste, e.g., los cambios de humor debidos a los ciclos de hambre y saciedad derivados de los tiempos asignados para su alimentación por parte de ese mundo externo desconocido? ¿No sería como los primeros homininos, qué explicaban los ciclos del sol y la luna mediante recuentos mitológicos? Creo que hasta ahora no había visto al experimento de Putman como a una alternativa biologistica (y realizable, si no suponemos que tenemos control sobre lo que el cerebro experimenta, sino que sólo nos limitamos a afectarlo) a la hipótesis de la simulación de Bostrom.
2. La hipótesis de Sapir–Whorf, que de ser correcta, obliga a cambiar «pensamiento» por «lenguaje», cuyo posible innatismo es defendido, e.g., por Chomsky.
3. Los niños ferales, que aunque mantienen sus sentidos intactos, resulta difícil concederles la capacidad de hacer matemáticas avanzadas (sugiriendo un origen social), si bien es cierto que tampoco tienen la necesidad o motivación para producirlas, lo que pone sobre la mesa: ¿y acaso mi hipotético humano sin sentidos tendría algún interés en ellas, suponiendo que pudiera pensar? El aburrimiento y la incapacidad de hacer cualquier otra cosa me hace pensar que sí.
4. La dificultad para comunicarnos con una persona sin sentidos (o, para el caso, sin acceso a ellos, como sucede con el lock-in syndrome)
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   Síndrome explorado, e.g., en la fascinante Johnny Got His Gun (1971).
   y, por ende, completamente aislada del mundo, prácticamente indistinguible de alguien en coma o, incluso, de una piedra, con la salvedad de que las brain–computer interfaces (e.g., Birbaumer et al. A spelling device for the paralysed Nature 1999) puedan levantar un puente.
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   Obviamente dicha interfaz presupone cierto conocimiento por parte del sujeto que difícilmente tendría si hubiera nacido sin sentidos (tanto en la forma como en el contenido del mensaje), por lo que probablemente habría que idear un nuevo lenguaje (lo mismo que si tratáramos de entablar una conexión con un alíen completamente ajeno a nuestra experiencia vital), salvo que utilizáramos dicha interfaz para reproducir en el cerebro las experiencias sensoriales usuales, anulando la finalidad del experimento.

   De hecho, y en última instancia, es imposible no caer en (1), pues no podemos interactuar con el sujeto sin estimularlo, por lo que tendríamos que conformarnos con una observación silenciosa, y confiar en que nuestro modo de mantenerlo con vida no perturbara significativamente las posibles trazas de innatismo que pudiera tener.

La pregunta anterior está a su vez vinculada con una aun más fundamental, Does consciousness depend on our five senses? (2014), que se decanta por los aspectos más místicos:

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Llegando a citar el biocentrismo de Robert Lanza, que me cuesta tomar en serio, viéndolo como una mezcla extraña de idealismo alemán, misticismo cuántico y principio antrópico, aunque reconozco que me hizo vacilar por un momento la apelación a Podolskiy y Lanza On decoherence in quantum gravity Annalen der Physik (2016), hasta que vi que la revista en cuestión no ha publicado nada relevante desde 1916, estuvo inactiva durante décadas hasta relanzarse a 2012, tiene un factor de impacto de 3.3 a 2018 (frente al 19.3 de Nature Physics) y un ratio de aceptación del 32% (frente al 14.3% de NP), sin mencionar que la gravedad cuántica es una materia aun demasiado verde, pudiendo pasar fácilmente por el proceso de revisión por pares.

1. ¿La conciencia es siempre intencional (i.e., sobre algo)?
2. ¿La introspección, la autoconciencia, el inconsciente... son posibles sin un marco de referencia externo? (que no deja de ser una vuelta a la pregunta por el innatismo)
3. ¿La turiya de la meditación no depende de la información sensorial almacenada, lo mismo que el sueño profundo, aunque en dichos estados los sentidos se encuentren desactivados?

si bien personalmente me parece más interesante la perspectiva evolucionista que brinda Kurzgesagt The origin of consciousness 2019-3-17,

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Cf. Sean Carroll's Mindscape Episode 39: Malcolm MacIver on Sensing, Consciousness, and Imagination (PhD 2001 en neurociencias, con background en ingeniería eléctrica, computación y filosofía) para una ampliación trepidante en uno de los puntos intermedios de dicha evolución.

a pesar de que la búsqueda de «senseless organism» no ha sido fructífera, o el enfoque desde Shannon de la Teoría de la Información Integrada.

Lo que sí me ha parecido un símil más valioso es el de la IA: por una parte, su emulación de pensamiento es a partir de enormes datasets, de entrenamiento iterado, de redes neuronales... todos casos en los que interviene de alguna manera una entrada de datos externa. Sin embargo, el código del programa (y sus posibles valores hardcodeados), los hipervalores alcanzados tras el entrenamiento, la estructura de la red... pueden ser descritos como innatos (por mucho que sean el resultado de un proceso previo), del mismo modo que lo son las instrucciones del código genético (como resultado de una evolución biológica previa), recuperando de nuevo a Piaget. En este nuevo framework, la pregunta sería si el cerebro humano requiere de argumentos para ejecutarse, y de si puede autoejecutarse, o incluso autoprogramarse (cf. self-modifying code).

Sea como fuere, y tras esta nada breve tangente, el problema sigue en pie: ¿cómo lo averiguamos?