¿Por qué no se puede dividir por cero?

"Top ten excuses for not doing homework:

I accidentally divided by zero and my paper burst into flames."

Contexto

Estaba leyendo una de las entradas participantes al carnaval de matemáticas (concretamente, esta), cuando me he topado con el lamentablemente clásico "$a^0=1$, siempre que $a\neq0$". Estrictamente hablando esto no es incorrecto, pero la coletilla $a\neq0$ es ciertamente innecesaria. Para convencerse, basta acudir al "evangelizador" acérrimo en la cuestión, El Topo Lógico, si bien el tema también apareció en gaussianos.

    Animado por el gazapo, continué leyendo con interés, y me choque contra un: "Por convención, ningún número real se puede dividir por cero". Me hizo tanta gracia que no me he podido resistir. Por supuesto, uno puede decir que toda la matemática no es más que una convención, o que nace de unos convenios llamados axiomas, pero... mejor pasamos a comentarlo.

Preconceptos

Sea $A$ un conjunto no vació, y $+,\cdot$ operaciones binarias internas de $A$. Entonces, el conjunto con dos operaciones $(A,+,\cdot)$ es un anillo si: 
-$(A,+)$ es un grupo conmutativo con elemento neutro $0$
-$(A,+,\cdot)$ cumple las leyes distributivas (por la derecha y por la izquierda)
-el producto es asociativo

Diremos que $A$ es un anillo con elemento neutro (respecto del producto) si $\exists 1\in A$ tal que $1\neq 0, a \cdot 1=1 \cdot a=a, \forall{a} \in A$.

Nota: Quiero enfatizar que aunque utilicemos los símbolos $+, \cdot, 0, 1$ por comodidad/similitud para con el anillo de los enteros (y sus extensiones) junto a las operaciones habituales, no se corresponden, en general, con ellas. Si se prefiere, o si hubiere peligro de confusión, podrian denotarse de cualquier otra manera, como por ejemplo: $\star, \circ, e_{\star}, e_{\circ}$.

Diremos que $a\in A$ es un elemento invertible (respecto del producto) si $\exists a^{-1}\in A$ tal que $a \cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot a=1$

Proposición: $a \cdot 0 = 0$ para todo anillo $A$.
Demostración:
$a \cdot 0 = a \cdot (0+0)$ por ser $0$ el neutro de la suma
$a \cdot (0+0)=a \cdot 0+a \cdot 0$ por la distributiva por la izquierda.
Por tanto, tenemos que: $a \cdot 0= a \cdot 0 + a \cdot 0$.
Como $(A,+)$ es un grupo, podemos aplicar la ley de simplificación para la suma.
Así, nos queda $0=a \cdot 0$, qed.

Nota: del mismo modo que la resta, per se, no existe, ie, que se concibe como la aplicación "sumar el inverso respecto la suma", la acción de dividir se define como "multiplicar el inverso respecto del producto".

Los hechos

Veamos por absurdo que no se puede dividir por $0$, ie, que $0$ no es invertible. 

Sabemos que: $1=a \cdot a^{-1}, \forall a\in A$ invertible. 
Supongamos que $a=0$ lo es. Entonces: $1=0 \cdot a^{-1} =0$ 
(Esto, por sí solo, ya contradice la definición de $1$. Pero sigamos adelante para ver porque esta prohibición es necesaria/consistente,ie, porque el neutro de ambas operaciones no puede coincidir).
También sabemos que $a=a \cdot 1, \forall{a} \in A$ 
Pero como hemos visto que $1=0$, tenemos que $a \cdot 1 =a \cdot 0=0, \forall a \in A$, 

Es decir, si admitimos que $0$ tiene inverso, entonces $A=\{0\}$ 

(y es por ello que "ningún número real se puede dividir por cero").

En consecuencia, definimos $A$ anillo de división si $\forall a\in A, a\neq 0$, $a$ es invertible.

Pero... 

Intuitivamente, sin embargo, a base de dividir la unidad en partes cada vez más pequeñas, se puede llegar a la conclusión $\frac{1}{0}=\infty$, ya que cuando el tamaño de las partes es infinitesimal (en la practica, cero), el numero de partes resultantes de la división es infinito. Este fue, de hecho, el razonamiento de Bhaskara II en el s.XII, quien obtuvo por primera vez el resultado (cf. 24:48-26:15). 
     No obstante, esto no contradice en absoluto lo anteriormente dicho, ya que lo que realmente se esta queriendo decir -por la manera en la que se está procediendo- es: $\displaystyle\lim_{n \to{0}}{\frac{1}{n}}=\infty$. Y, como enfatizan en gaussianos a propósito del $0^0=1$: "no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número".


Despedida y cierre

Para terminar, no quisiera obviarlo, esto se tiene desde la visión canónica actual. Y aunque a día de hoy no tengo competencia en este campo, la construcción de Robinson de los hiperreales mediante ultrafiltros lógicos, por citar algún ejemplo, hasta donde yo sé, se podría decir que sí que permite la prohibida operación, ya que un hiperreal puro se comporta de manera muy similar a cero (aun así, esto está cogido muy por los pelos, y supongo que es precisamente en lo explicado en donde se distinguiría uno de otro; si no, no se podrían construir adecuadamente las estructuras de grupo, anillo,...). 
    Sea como fuere, repito, lo comento en plan anecdótico, ya que no tengo autoridad alguna al respecto y, de todos modos, esta ya seria otra historia.

PS: Participación#2 en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas que acoge Scientia. Resumen.

Las otras participaciones fueron: 

• #1: La (falsa) paradoja de los números interesantes
• #3: La ambigüedad de los puntos suspensivos en las sucesiones
• #4: Resumen formal y solución a "Una paradoja lógica" de Carroll