Dos gratas sorpresas

«—¿Le ha ocurrido alguna vez —replicó León— encontrar en un libro una idea vaga que se ha tenido, alguna imagen oscura que vuelve de lejos, y como la exposición completa de su sentimiento más sutil?». Flaubert Madame Bovary 1856, II.2

I

Desde De las demostraciones matemáticas: Luces y sombras en teoría de la justificación 2020-2-29 hasta Analítico vs sintético: Un viaje personal alrededor de la naturaleza de la matemática 2020-12-7, he divagado a menudo sobre la naturaleza de la matemática. Hoy (2021-2-26) he encontrado este artículo, La fenomenología de la verdad matemática (link), que dice en 10 páginas, de manera clara y concisa, lo que yo no habré farfullado en 100.

Para dar un poco de contexto, Rota (1932-1999, PhD 1956 bajo Schwartz en análisis funcional y teoría de operadores) es conocido principalmente por su serie de diez papers On the Foundations of Combinatorial Theory (1964-92); entre sus otras contribuciones, está fundamentar el cálculo umbral en secuencias de Sheffer. Desde 1972, fue además profesor de fenomenología (en el sentido de Husserl) en el MIT.

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Más sobre su persona en: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rota/

El artículo pertenece a su antología Indiscrete Thoughts 1997, disponible en libgen. A él le siguen dos homólogos referidos a la belleza y prueba matemática. En total hay 11 ensayos filosóficos (segunda parte del libro), el último de los cuales se titula Three Senses of 'A is B' in Heidegger.

Por lo que veo en routledge,

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The New Yearbook for Phenomenology and Phenomenological Philosophy Volume 18, Special Issue: Gian-Carlo Rota and The End of Objectivity, 2019 (2021).

parece que también es apreciado en filosofía; incluso lo he visto comparar con Derrida (rds).

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Fabrizio Palombi Le monolithe. Gian-Carlo Rota et la déconstruction de la personnalité 2017.

Por lo que veo en springer,

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Fabrizio Palombi “A Minority View” Gian-Carlo Rota’s Phenomenological Realism 2009.

el título del especial de routledge viene de una antología previa, The End of Objectivity 1991, que no he encontrado online (salvo por unas anotaciones de cameronraysmith) basada en sus clases de fenomenología.

Me siento feliz por esta grata sorpresa :)

PS. Lo único lamentable es que haya tardado tanto en descubrirlo, cuando en De las demostraciones matemáticas ya lo citaba (a través de una fuente secundaria). Me pregunto si no llegué a él en ese momento porque no encontré la fuente original y cedí a la pereza intelectual, o si porque perdí de vista buscarlo al tener tantos frentes abiertos en ese ensayo.

II

El descubrimiento del ensayo de Rota vino de la manera más tonta: estaba yo coqueteando con una vieja idea (de 2015) entorno a una aproximación alternativa a la docencia matemática, cuando se me ocurrió que una de sus vertientes tenía un cierto carácter fenomenológico, y Google me dio la razón, mostrándome que en efecto no hay nada nuevo bajo el sol. Más concretamente, me redirigió a: hagociencia Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas 2017 y Luis Puig Notas para una lectura de la fenomenología didáctica de Hans Freudenthal 2001 (link).

Para dar un poco de contexto, Freudenthal (1905-1990, PhD 1931 bajo Hopf, introduciendo el concepto de «fin de un grupo topológico») es conocido principalmente por su teorema espectral (1936), del que se puede deducir el teorema de Radon–Nikodym, y su teorema de suspensión (1937), que ayudó a sentar las bases de la teoría de la homotopía estable (cf. G. W. Whitehead On the Freudenthal Theorems 1953).

«In 1942, from observations of his children’s learning and his knowledge of mathematics and the history of mathematics, Freudenthal wrote the first chapter of a work to be titled, Didactics of Arithmetic

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Inédito, cf. Sacha la Bastide-van GemertEmail Didactics of Arithmetic 2015.

». En 1968 funda la revista Educational Studies in Mathematics (ESM), aún una de las punteras en su campo. De esta vertiente suya, destacan (disponibles en libgen): Mathematics as an Educational Task 1973 (MAA review), Didactical Phenomenology of Mathematical Structures 1983 y Revisiting Mathematics Education: China Lectures 1991.

En la primera de ellas puede leerse (Ch. 11): «The reader can testify that I am not a faithful believer in tradition. But I deeply regret serious innovators behaving as if there had not been any didactics of arithmetic before the advent of the New Mathematics. This wild tribe of charlatans take it as their licence [sic] to indulge in all manifestations of insanity.».

Apéndices

Contexto

A menudo me he debatido por la tensión existente entre la propedéutica y la rigurosidad en la enseñanza y la divulgación, donde se llegan con frecuencia a sobresimplificaciones pueriles o directamente falsas; Carefree Wandering BAD Philosophy Videos! (Philosophy Tube on Kant's Philosophy) 2021 me parece representativo de este sentir.

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Una discusión aún más sutil de esto puede verse en: Rittberg, Tanswell & Bendegem Epistemic Injustice in Mathematics 2020 sec. 6 Enculturation.

Así, e.g., recuerdo, caricaturizandolo, que cuando me dijeron en análisis matemático de tercero de carrera que lo que había visto en cálculo de primero estaba todo mal (o que era mera heurística), me medio traume.

Pero es que el opuesto diametral a ese «lie-to-children approach»

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Descubrí la expresión, en una tercera grata sorpresa, a 2021-4-11. Y no a través del matemático Ian Stewart, ironías, sino del literato Terry Pratchett.

tampoco parece más apetecible, pues: ¿de verdad vamos a enseñar álgebra universal y teoría de conjuntos, en toda su formalidad, a modo de primera introducción a la matemática, como pretendía la New Math de los 1960s?

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Soy consciente de que no es la única alternativa, pero sí es la noción dual natural, permitiéndonos establecer de manera implícita un espectro en el que movernos (independientemente de que existan dimensiones ortogonales).

Como yo lo veo, la solución a un resumen (o curso introductorio) impreciso no pasa por obviarlo en pos de la exposición del experto, sino por hacer que le siga uno un poco menos inexacto, y así sucesivamente, como ejemplifica MinutePhysics General Relativity Explained in 7 Levels of Difficulty 2021 (salvando el hecho de que debería aumentar también exponencialmente el tiempo de explicación a medida que sube la dificultad) o la serie WIRED 5 Levels 2017-20 (link).

Porque, por una parte, un resumen (o síntesis) va a ser siempre equívoco o superficial

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Nótese que se puede ser superficial tanto a un nivel naïve como profesional: tomar la Ecuación de Campo de Einstein per se como a una síntesis de la Relatividad General (y, si acaso, delegar su uso a la llamada de una función en un programa informático) es superficial en el sentido de que no entra a detallar su significación matemática y física, pero difícilmente diríamos que es una caracterización ingenua o engañosa de la Relatividad General.

(en tanto que no es un análisis)

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Como podría serlo el estudio de las diferentes consecuencias de la veracidad de la Ecuación de Campo de Einstein.

, debido a las restricciones de brevedad inherentes al resumen, obligándolo a devenir pueril (sobresimplificado), críptico (infraexplicado) o correcto y entendible pero muy específico

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I.e., exponiendo con claridad y tecnicidad una única idea del texto (en sentido amplio, incluyendo en ello planes docentes, programas educativos...) que se quiera enseñar, a modo de representante de la totalidad, con la esperanza (quizá ingenua) de que el receptor pueda desarrollar por sí mismo el resto con el mismo nivel de detalle, dando lugar a una tercera vía.

. Pero, por otra, el resumen, aun con todos sus males, va a ser necesario,

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En vlogbrothers How We Teach: Individualist Stories se discute también esta dicotomía.

pues no podemos pretender que todo interés —¡incluso pasajero!— por una cierta materia sea contestado acudiendo a su exposición final y pormenorizada a nivel profesional, pues ello puede fácilmente desincentivar esa curiosidad inicial (o el descubrimiento de temas sucesivos que avancen su investigación),

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El fraseado tal vez sugiera que me limito a hablar de intereses vocacionales, pero nada más lejos de la realidad: un ingeniero necesita conocer (o se interesa por) ciertas fórmulas, incluso aunque no domine en toda su profundidad (ni quiera) las matemáticas y física detrás de ellas. No en balde, sus estándares de rigor son otros; no peores, sino distintos: «un arquitecto y un geómetra buscan de manera diferente el ángulo recto: el uno por cuanto le es útil con vistas a la obra, el otro busca saber qué es» Aristóteles Ética a Nicómaco I.7 1098a.

Por supuesto, esto no significa que esta aproximación no tenga sus peligros. Como se nota en Robert M. May Uses and Abuses of Mathematics in Biology 2004: «the increasing speed and sophistication and ease of use of computers enables an increasingly large number of life scientists who have no substantial background in mathematics to explore “mathematical models” and draw conclusions about them. [...] This represents a revolutionary change in such theoretical studies. Until only a decade or two ago, anyone pursuing this kind of activity had to have a solid grounding in mathematics. [...] Removing this link means that we arguably are seeing an increasingly large body of work in which sweeping conclusions— “emergent phenomena”—are drawn from the alleged working of a mathematical model, without clear understanding of what is actually going on (Fig. 2). I think this can be worrying.

This cautionary note can be fleshed out with a couple of examples. The first comes from HIV/AIDS in the mid-1980s, when Roy Anderson and I published the first, rough estimate of its likely demographic impact in some central African countries. The main unknown at that time was the probability, $\beta$, that an infected individual would infect a susceptible partner. Available data suggested that $\beta$ depended relatively little on the number of sexual acts within a partnership. On this basis, we used a relatively simple model to suggest that the future demographic impact of HIV/AIDS could be severe in some such countries. In contrast, the World Health Organization and the Population Council in New York produced models that were much more complex, including very detailed demographic data, but where HIV transmission probability was treated as if for measles, compounding independently randomly for each individual sex act. Thus, in effect, their models assumed that, knowing nothing of the infective status of individuals, 1 sex act with each of 10 different sex workers was effectively equivalent to 10 acts with 1; our data-governed, but otherwise much simpler, model saw the former as roughly 10 times more risky. So it was not surprising that the later models, apparently “more realistic” by virtue of their computational complexity, suggested a less gloomy view than ours. Sadly, but understandably, our predictions have proved more reliable (3, 4).

An interestingly different but rather common sin is exemplified in a risk-assessment study commissioned by the U.K. Government a few years ago to help determine whether to ban beef-on-the-bone (T-bone steak; hereafter BOTB) in the aftermath of the BSE or “mad cow” epidemic. Three factors are involved in any assessment of the likely number of cases of vCJD in humans prevented by such a ban: the number of infected animals still liable to enter the human food chain, after the precautionary measures taken earlier; the amount of infected meat additionally removed by banning BOTB; the probability, P, of contracting vCJD after eating, say,1 g of infected meat. Of these three, the first can be estimated fairly reliably (certainly to within a factor 10). The second can be estimated to stupefying precision, which indeed forms the bulk of the report. The infection probability, P, is essentially unknown. So the study ran computer simulations, with an arbitrary distribution of P values ranging over six orders of magnitude. For any one assumption about the P value, you could roughly assess the number of vCJD cases saved by banning BOTB by a calculation on the back of an envelope. In the published study, however, these arbitrary assumptions were magically transmogrified into a probability distribution by passage through a big computer. The resulting 95% “confidence interval” included the possibility of saving one life. This, along with other considerations, led to the ban. Of course, an alternative assessment could have asked what is the ratio of the cases of vCJD saved by banning BOTB to the number of cases—at that time hard to estimate—coming down the pipeline from cattle that entered the human food chain at the height of the epidemic, before effective measures were taken. This ratio depends mainly on the number of cattle still entering the human food chain to the number entering at the epidemic's height, with the great uncertainty in P canceling out of the ratio. On this basis, you would conclude that for every case of vCJD prevented by banning BOTB, you were looking at 100,000 (give or take a factor 10!) cases of vCJD yet to come from the earlier epidemic. Put another way, given the best guess of a few hundred cases of vCJD from the earlier epidemic, the ban prevented $10^{-3}$ of a case. The public, with admirable common sense, saw the ban as silly, and they were right. Sadly, examples of the application of statistical “confidence intervals” to distributions resulting from making arbitrary assumptions about essentially unknown parameters, and then endowing this with reality by passage through a computer, continue to proliferate.

[...] Particularly tricky are instances in which conventional statistical packages (often based on assumptions of an underlying Gaussian distribution—the central limit theorem) are applied to situations involving highly nonlinear dynamical processes (which can often lead to situations in which “rare events” are significantly more common than Gaussian distributions suggest) (9). Perhaps most common among abuses, and not always easy to recognize, are situations where mathematical models are constructed with an excruciating abundance of detail in some aspects, whilst other important facets of the problem are misty or a vital parameter is uncertain to within, at best, an order of magnitude. It makes no sense to convey a beguiling sense of “reality” with irrelevant detail, when other equally important factors can only be guessed at.».

A pesar de ello, no he encontrado estudios entorno al mal uso de las matemáticas en trabajos puramente teóricos (y no de modelaje): sospecho que el sistema de revisión por pares tenga mucho que ver con esto, evitando la entrada de cranks (Dudley 1992), que podrían refugiarse en servidores como viXra. Y a este respecto, si bien un tanto tangenciales, me parecen relevantes Fawcett & Higginson Heavy use of equations impedes communication among biologists 2012 y Comment on 'Are physicists afraid of mathematics?' 2016 (de cuyos resultados pueden hacerse múltiples lecturas), así como Tuminaro & Redish Understanding studentsí poor performance on mathematical problem solving in physics 2004 (cuya noción de «epistemic game» me parece muy interesante y bien ilustrada) y Problem solving and the use of math in physics courses 2005 (cuya sección We use math differently in physics se me antoja muy curiosa).

Aunque, por supuesto, la revisión por pares no puede evitar siempre la entrada de resultados erróneos, ni siquiera en matemáticas, como notan en el citado Epistemic Injustice in Mathematics (3. Ghost Theorems) a propósito de On the Subellipticity of Some Hypoelliptic Quasihomogeneous Systems of Complex Vector Fields 2010, que abre con: «For about twenty five years it was a kind of folk theorem that [... but not] in the case $n>1$ [...]. Quite recently [...] show by explicit examples that there are very simple systems [refuting it]».

salvo que queramos plantearlo en términos de Mathematical Way to Choose a Toilet - Numberphile 2014 (aka Secretary problem)

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I.e., salvo que queramos romper esa cadena de aprendizajes multidisciplinarios en el punto estadísticamente óptimo, decidiendo entonces en qué profundizar; o que queramos dejar de ahondar en una materia una vez hayamos extraído de ella el número estadísticamente óptimo de ideas, saltando entonces a la siguiente; etc.

. Y en ese sentido, incluso el resumen más impreciso podría tener su target.

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Desde mi punto de vista, mientras se deje claro quien es el target, y se explicite que es una simplificación, y se den referencias para saltar al siguiente nivel, no tengo mayores problemas con ellos, aunque a nivel personal no pueda negar que me irriten cuando no soy su target.

Por supuesto, y volviendo sobre la New Math, nada de todo esto te impide empezar a mentir por la teoría de conjuntos.

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No en balde, tengo que admitir las bondades de libros como Category theory for scientists 2013 o Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories 1997, en el que se afirma «Preliminary versions of this book have been used by high school», y que conozco de Luis Español Matemática conceptual: la propuesta didáctica de F.W. Lawvere y S.H. Schanuel 1999.

Y de hecho, es habitual que los cursos introductorios a la teoría de conjuntos (o al razonamiento matemático en general) empiecen por la teoría ingenua de conjuntos, que no deja de ser una «mentira». Sin embargo, el problema viene cuando la gente se cree que esa mentira es la verdad, y apela a la paradoja de Russell para tumbarla.

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Tema aparte es que la «verdad» científica sea también una mentira provisional. O no tan aparte, porque el uso del lie-to-children en Pratchett también pretende denunciar eso.

Por último, aclarar que entrecomillo mentira y verdad porque, con o sin Pratchett, me cuesta pensar a las diferentes teorías de conjuntos, y a la ciencia en general, en esos términos, y no como posibles modelos explicativos, desde un punto de vista más pragmático.

Ahora bien, ¿es ese el mejor punto de partida? En su día (2015) hice una lluvia de ideas al respecto, y consideré que había cuatro aproximaciones o inicios naturales, que idealmente deberían combinarse:

1. El histórico: cómo ha evolucionado una idea en la historia de la humanidad, incluyendo desarrollos independientes, paralelos, perdidos, olvidados...
2. El fundacional: cómo entienden y construyen hoy esa idea los expertos, incluyendo posibles diferentes escuelas.
3. El pedagógico: cómo enseñamos esa idea (hoy y en el pasado) o, preferiblemente, cómo evoluciona de la manera más orgánica y natural posible en nuestra mente particular.
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   Apelando a Piaget o Brian Butterworth, podríamos decir que hay ciertos aspectos neurobiológicos comunes de la mente humana que podríamos explotar en la enseñanza, pero tampoco podemos olvidar por ello que también hay una cierta neurodiversidad, como pone de manifiesto el DSM.
4. El temático: si «un sistema no es otra cosa que la subordinación de todos los aspectos del universo a uno cualquiera de ellos» (Borges Tlön), entonces deberíamos poder reescribir nuestra enseñanza en términos de los intereses particulares de nuestros alumnos, a la «guided reinvention» de Freudenthal, en una suerte de pedagogía personalizada (análoga a la medicina genómica).

Memento

A 2020-12-6 me jacte de la New Mathematics en un server de Discord en base a lo anterior,

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Que se basa en dicha conversación, y en otra del 2021-4-11.

y cuando me preguntaron por una alternativa, me puse a farfullar tonterías que no venían a cuento. Las recupero a modo de hiriente recordatorio:

Aunque, por lo poco que sé de física, creo que, si tuviera que enseñar algo de matemáticas en física, sería teoría de grupos, no de conjuntos/categorías (además de cálculo en el sentido amplio de la palabra, obvio).

Sea como fuere, no me hagas mucho caso, porque, tras consultarlo con la almohada, creo que lo que te he dicho es una estupidez. Me explico:

Sigo creyendo que la teoría de grupos es un buen punto de partida, con conexiones muy directas a la física (por su íntima relación con la geometría, como deja constancia el grupo de Lorentz, las clasificaciones de Bianchi, etc.; o a nivel más básico, como encapsulación de la noción de simetría, rotación,

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Estoy pensando en particular en los ángulos de Euler, usados en mecánica del sólido rígido.

etc.), y un buen punto de entrada al álgebra universal (álgebra lineal, módulos y tensores, etc.; creo que no es necesario explicitar aquí las conexiones).

Pero creo que mi recomendación viene sesgada por un comentario de alguien de mi trabajo que estudió física teórica, y que lamentaba no le hubiesen dado teoría de grupos, y tuviese que estar lidiando con esas ideas de manera instrumental y sin conocimiento de causa.

Otro sesgo importante en mi recomendación es la tendencia creciente que me pareció notar en su día (cuando aún estaba en la universidad) de explicar todo desde el álgebra universal (perspectiva que terminó encandilándome, supongo); sentimiento que puede verse, e.g., en Juan Antonio Navarro González Notes for a Licenciatura (link).

Sea como fuere, en tus primeras clases no diste teoría de conjuntos, sino sólo nociones primitivas de conjunto, función, etc. (aka NST, Naive Set Theory), así que ni mi recomendación por los grupos ni por las categorías te va a hacer ningún bien, creo.