De las demostraciones matemáticas: Luces y sombras en teoría de la justificación 2020-2-29
De la matemática en Platón 2020-6-24
Overview histórico del logicismo y la lógica matemática 2020-7-25
Kant y la matemática del XIX: Outline de una brecha irreparable 2020-7-25
¿Cuánta información sensorial necesito para hacer matemática?: Un experimento mental 2020-9-13
Kant: espacio-tiempo y representación (bajo la sospecha infundada de newtonianismo) 2020-9-16
Propiedades emergentes en matemáticas 2020-10-9

Otros puntos intermedios menos relevantes para esta discusión serían:

La lista no es exhaustiva: todo influye, nada determina.

El giro copernicano de Kant: ¿Nos engañan los sentidos... o su representación? Una anotación apologética de la percepción 2020-6-25
Entorno al ergo del cogito ergo sum 2020-6-25
Kant: representación, fenómeno, noúmeno e idea a través de ejemplos 2020-9-24
Noúmeno: ¿sí o no? 2020-9-26
Frege: sentido y referencia a través de ejemplos 2020-10-18

Por otra parte, este ensayo se ha vertebrado a partir de las reflexiones originales (si es que tal cosa existe) de mis notas de clase de filosofía sobre Leibniz, Kant y Hegel, que preceden a todos los anteriores salvo el primero, pero que he enriquecido con (algunos) matices que estos me han aportado, así como la perspectiva de Quine.

Todas sus citas de Two Dogmas of Empiricism 1951, salvo que se indique lo contrario.

De ahí, supongo, el estilo recargado resultante, surgido de intentar acomodar orgánicamente ideas tan separadas en tiempo, dirección y contenido; o la adicción de referencias complementarias a SEP The Analytic/Synthetic Distinction a posteriori, que es sin duda un mucho mejor recuento de esta cuestión.

Nada dice nada sobre nada,

pero no por ello no decimos nada;

así que no me tomen muy en serio.

Mihi ipsi scripsi

1.2 Precedentes

«Las verdades de Razón son necesarias y su opuesto es imposible;

Ergo basta el Principio de Contradicción (31) para demostrarlas.

y las de hecho son contingentes y su opuesto es posible.

Ergo requieren del Principio de Razón Suficiente (32) para probarse.

Cuando una verdad es necesaria, se puede hallar su razón por medio del análisis, resolviéndola en ideas y verdades más simples hasta llegar a las primitivas

El análisis de ideas exige remontarse indefinidamente a otras ideas (37). El de verdades, comprobar que el sujeto contiene el predicado.

» Leibniz Monadología 1714, 33.

Ed. Pentalfa 1981, anotada por Lombraña.

«20. All the objects of human reason or enquiry may naturally be divided into two kinds, to wit, Relations of Ideas, and Matters of Fact. Of the first kind are the sciences of Geometry, Algebra, and Arithmetic;

Hasta donde sé, en época de Leibniz la obra de referencia en álgebra seguía siendo Bombelli (1572), donde no hay una distinción fuerte entre álgebra y aritmética, y lo mismo puede decirse del resurgir de las ecuaciones diofánticas con Fermat.

Y si bien Leibniz (1700, 1710), Maclaurin (Treatise of algebra 1748) y Cramer (Introduction to the analysis of algebraic curves 1750) hacen importantes avances en teoría de matrices (sin llegar a tratarlas como un álgebra), y Segner (Specimen logicae universaliter demonstratae 1740) y Ploucquet (Methodus Calculandi In Logicis 1763), siguiendo a Leibniz, en lógica algebraica, no es de extrañar que Kant no hable en específico del álgebra, quien de hecho parece tomar como referencia Segner Elementa Arithmeticae Geometriae (1756).

and in short, every affirmation which is either intuitively or demonstratively certain. That the square of the hypothenuse is equal to the square of the two sides, is a proposition which expresses a relation between these figures.

Aka teorema de Pitágoras, equivalente al quinto postulado de Euclides. En particular, «intuitively or demonstratively certain» sólo en espacios con curvatura gaussiana cero.

That three times five is equal to the half of thirty, expresses a relation between these numbers.

Aquí estamos suponiendo que nuestra aritmética tiene una multiplicación, excluyendo la de Presburger (1929), que a diferencia de la de Peano, sí constituye una teoría completa. Y también que posee un inverso multiplicativo, excluyendo los enteros. Aunque, claro está, nada nos impide reinterpretar

\frac{30}{2}

como un

n

tal que

2 n = 30

, y

3 \cdot 5

como

5 + 5 + 5

Aun así, esto sigue presuponiendo una cierta noción de suma y de número (como la encapsulada en el segundo axioma de Peano), pues yo podría, e.g., escribir

2 + 3 = 6

para referirme a la suma directa de los grupos cíclicos de orden 2 y 3, y similarmente con otras operaciones binarias en otras álgebras, o con divertimentos como La Covacha Matemática La aritmética de Plutón 2012.

En otras palabras, y resumiendo, el juicio no sólo no significa nada por sí mismo (pues depende de unas nociones primitivas, cuya base es tentador atribuir a la empírea, en tanto que no se siguen necesariamente del Principio de Contradicción, o de otro modo no podría haber dado mi ejemplo de

2 + 3 = 6

), sino que es «intuitively or demonstratively certain» en el usual

(Q, +, \cdot)

, pero no en general.

Propositions of this kind are discoverable by the mere operation of thought, without dependence on what is anywhere existent in the universe.

I.e., son apriori, lo que discutiremos en 1.4.2.

Though there never were a circle or triangle in nature, the truths demonstrated by Euclid would for ever retain their certainty and evidence.

El cierre de 6.4 cuestiona justo este último comentario.

21. Matters of fact, which are the second objects of human reason, are not ascertained in the same manner; nor is our evidence of their truth, however great, of a like nature with the foregoing. The contrary of every matter of fact is still possible; because it can never imply a contradiction, and is conceived by the mind with the same facility and distinctness, as if ever so conformable to reality.

Como venimos comentando, esto también es así en sus ejemplos de relaciones de ideas. Y si juzgáramos que aquellos sí se rigen por alguna interpretación retorcida del Principio de Contradicción, entonces deberíamos admitir que aquí también: el universo es cómo es, y no de ninguna otra manera, porque el universo es cómo es (lo que quiero decir con esto quedará más claro en 2).

That the sun will not rise tomorrow is no less intelligible a proposition, and implies no more contradiction than the affirmation, that it will rise.

Instancia del problema de la inducción, popularizado por Russell en la forma del pavo inductivista en, e.g., The Problems of Philosophy 1912, VI.

We should in vain, therefore, attempt to demonstrate its falsehood.

Graciosamente, el intento de demostrar la falsedad de la negación del quinto postulado de Euclides es lo que lleva al nacimiento de otras geometrías. Así, por una parte, esto le da la razón: dicha intencionalidad es absurda, incluso referida a los axiomas de la matemática. Pero por otra, se la quita: dicho esfuerzo no es banal, sino que puede ofrecernos un mejor entendimiento de nuestra propia realidad por contraste (si es que, para empezar, nuestro concepto de la misma no era ya originalmente erróneo).

Were it demonstratively false, it would imply a contradiction, and could never be distinctly conceived by the mind.

I.e., todo lo que es imaginable es por ende no contradictorio (y viceversa). O en palabras de Leibniz, se caracteriza equivalentemente lo analítico como lo cierto en todos los mundos posibles (imaginables).

» Hume An Enquiry Concerning Human Understanding 1748, IV.

Aunque obviamente las definiciones de la RAE no se refieren a su uso técnico en filosofía, que se remonta a las dos citas anteriores, creo que merece también la pena notarlas, ni que sea para explicitar los sesgos con los que podemos estar entrando al problema de demarcar dichas nociones:

Análisis: «Examen detallado de una cosa para conocer sus características o cualidades, o su estado, y extraer conclusiones, que se realiza separando o considerando por separado las partes que la constituyen.»
Síntesis: «Cosa compleja que resulta de reunir distintos elementos que estaban dispersos o separados organizándolos y relacionándolos» (creando algo nuevo, como sucede con los materiales sintéticos).

1.3 Ejemplos a la Kant

«En todos los juicios en donde se piensa la relación de un sujeto con el predicado (refiriéndome sólo a los afirmativos, pues la aplicación a los negativos es luego fácil), es esa relación posible de dos maneras. O bien el predicado B pertenece al sujeto A como algo contenido (ocultamente) en ese concepto A; o bien B está enteramente fuera del concepto A, si bien en enlace con el mismo. En el primer caso llamo el juicio analítico; en el otro sintético.» Kant Crítica de la Razón Pura 1787, Introducción, IV.

Así, en el juicio «el triángulo tiene tres lados», el sujeto «el triángulo» contiene en sí mismo (i.e., en su definición, en el significado del término «triángulo») el predicado «tiene tres lados»;

Técnicamente, debería decirse «tiene tres ángulos», que no sólo es menos ambiguo (¿lados de qué? ¿acaso no presuponemos, en dicha definición naíf, al triangulo? ¿O, aun peor, a una noción de polígono?), sino también más preciso (en su sentido etimológico) y conciso (pues incluso entendiendo lado por recta, tendríamos que exigir entonces a éstas que se cortaran dos a dos, lo que ya está implícito o contenido en la idea de ángulo).

y lo mismo con «el calvo no tiene pelo». Decimos en estos casos, pues, que el predicado es una propiedad esencial, inherente o necesaria del sujeto, y que puedo emitir con certeza esta clase de juicios (conocidos como analíticos) a priori (i.e., de manera previa a cualquier experiencia con el sujeto).

Por el contrario, en el juicio «mi computadora es negra», el sujeto «mi computadora» no contiene en sí el predicado «es negra», pues puedo imaginarme sin contradicción predicados opuestos para este sujeto: «es plateada», «es verde», «es blanca»...; y lo mismo con «el árbol tiene hojas rojas», «mi abuelo es calvo», etc. Decimos en estos casos, pues, que el predicado es una propiedad accidental o contingente del sujeto, y que no puedo emitir con certeza esta clase de juicios (conocidos como sintéticos) sin acudir antes a una experiencia con el sujeto (i.e., son a posteriori).

1.4 Aclaraciones

Las dos propiedades adscritas a cada tipo de juicio no llegan a caracterizarlos unívocamente, ni siquiera en conjunción, y deben entenderse como proxys. Veamos sus diferentes combinaciones, al tiempo que explicitamos sus dificultades:

1.4.1 Esencial a posteriori

Un perfil psicológico trata de capturar la «esencia» de una persona (si es que tal cosa existe) tras observarla (i.e., a posteriori), sintetizando lo que le es propio (inherente) y la define y caracteriza (suficiente y necesariamente). El diagrama de fases del agua respecto temperatura, presión y concentración de sal descubre a posteriori, tras llevar a cabo los convenientes experimentos, una propiedad esencial del agua, que emerge necesariamente de su estructura interna. La teoría de la relatividad general de Einstein (1915), tras las experiencias de Eddington (1919) a LIGO (2016), se confirma como una descripción más fiel que la de Newton de la naturaleza intrínseca

Puede hacerse incluso una lectura técnica (matemática) del término, dado que la curvatura gaussiana es independiente del embedding.

de nuestro universo.

Si bien, obvio, no es posible garantizar que describa su ontología, pues podría desbancarse en el futuro con una nueva revolución científica, y tampoco es fácil eludir a la pregunta: Are You Living in a Computer Simulation? (Nick Bostrom 2003).

Ahora bien, en todos estos casos hablamos de esencias de entidades contingentes, pues, e.g., yo puedo imaginarme sin contradicción universos con otras geometrías.

En otras palabras, el juicio es contingente en el sentido de referirse a un sujeto específico, mi universo, pero esto no quita que describa una propiedad esencial suya, la naturaleza de su geometría. Y en ello no hay contradicción alguna, pues tampoco habíamos matizado a este nivel que entendíamos por esencia ni accidente, ni que ellos hablaran sobre una universalidad.

En cuanto a la posibilidad de los juicios sobre esencias de entes no contingentes (si es que existen) a posteriori, supongo que podríamos apelar a las experiencias místicas, pues en ningún momento hemos exigido que las experiencias de lo a posteriori se refieran en exclusiva a lo empírico, sino sólo que fueran concernientes al sujeto en cuestión.

Sin embargo, alguien podría decir que un diagrama de fases es cierto (de manera necesaria y universal) en todos los mundos posibles, pues incorpora en él todas sus variables o dependencias, incluida implícitamente la estructura atómica o molecular del sujeto. Pero lo cierto es que dicho diagrama podría diferir, o el elemento no existir, si cambiaran las constantes universales.

Cf. Domain of Science The Speed of Light is NOT Fundamental. But THIS is 2020.

Y aunque podríamos condicionar también a esto nuestro diagrama, aun cabría preguntarse si existen otras dependencias que desconozcamos (aka variables ocultas),

Tteoría propuesta ante la paradoja EPR (1935).

y si los experimentos tipo Bell

Desigualdades a 1964, primer experimento a 1972 (Freedman y Clauser), refutación de las Leggett-type non-local realist theories a 2007 (Gröblacher), loophole-free tests a 2015 (Hensen, Giustina, Shalm). Cf. Wikipedia Bell test experiments y César Tomé Entrelazamientos y desigualdades 2013.

pueden descartar por completo esa posibilidad. Y aunque así fuera,

Cf. Francisco R. Villatoro El libre albedrío en los experimentos cuánticos de tipo Bell 2019.

aun resultaría tentador caracterizar a los juicios sintéticos a través de esta condicionalidad, reformulando así «esencial» como «cierto acondicionalmente en cualquier mundo imaginable».

No obstante, la naturaleza condicional de los teoremas matemáticos, o la independencia de AC en ZF

Cf. A.

(implicando que la certeza de ciertas afirmaciones no es necesaria ni universal, sino contingente a nuestra elección de admitir o negar ciertos principios, como ponen de manifiesto aún más abiertamente los modelos no estándar), o la existencia de lógicas alternativas (que hacen lo propio con los axiomas de la lógica clásica), etc. dejan en claro que, o bien admitimos que la matemática y la lógica (paradigmas de los juicios analíticos) son en realidad sintéticas (aunque sean, quizá, a priori), o bien asumimos que no hay una demarcación fuerte sino de grado (dada por el número de condicionantes), o bien renunciamos a esta aproximación de analítico como necesario.

Por supuesto, aún se podría contraargumentar que puedo desarrollar una matemática con AC y otra con

\neg

AC, mientras que en física hacer algo así parecería más difícil, pues no puedo testear empíricamente como se comportarían esos otros universos.

I.e., y siguiendo con el ejemplo anterior, pareciera que yo no puedo desarrollar un diagrama de fases para otros universos, y que equiparar su condicionalidad a la de AC es falaz o artificioso.

Sin embargo, una de las dificultades de la teoría de cuerdas es precisamente identificar qué leyes se refieren a nuestro universo de entre toda su maraña de posibilidades, y nada nos impediría desarrollar paralelamente, no sólo las que fueran coherentes con la empírea (de nuestro universo particular), sino también todas las demás.

Tampoco hace falta irse tan lejos: yo puedo imaginarme todos los diagramas de fase posibles (en este u otro universo) a base de mover el punto triple en el plano y considerar todas las curvas que parten de él y no se entrecruzan. O lo que es lo mismo, quedándome sólo con la noción misma de diagrama de fase; que ello sepa a poco, es el precio de su universalidad.

Ciertamente, en tal caso alguien podría preguntarse si ello seguiría siendo física y no más bien matemática, que es justo una de las críticas usuales a la teoría de cuerdas.

De esta opinión sería el: «In so far as theories of mathematics speak about reality, they are not certain [i.e., no son universales], and in so far as they are certain, they do not speak about reality» Einstein Geometrie and Erfahrung 1921.

No obstante, creo que puede contraargumentarse que: una teoría es física si el objeto de estudio propuesto es físico, y si el punto de partida (observaciones, métodos, intuiciones...) también, independientemente de que el primero sea más abarcante que el segundo. No en balde, ¿no es el propósito de toda teoría dar explicaciones más allá de su punto de partida?

Pero en cualquier caso, esto ya cambiaría el foco de la discusión, pues no concerniría en sí a la distinción entre esencia y accidente (o necesario y contingente, universal y particular), sino entre a priori y a posteriori, en tanto que se refiere al grado de empiricidad y actuabilidad (o agencia) de dichas investigaciones.

Alternativamente, y sin necesidad de llegar al extremo de renunciar a la empírea, podríamos decir que la convivencia entre cuántica y relatividad es un ejemplo aun más tangible de un análogo a «desarrollar una matemática con AC y otra con

\neg

AC» en física, teniendo en cuenta que parten de postulados opuestos respecto al carácter discreto o continuo del espacio–tiempo.

Y lo mismo con cualquier fenómeno que se haya tratado de explicar mediante diferentes teorías (e.g., el mecanismo de las agujetas): suponiendo que sólo haya una correcta (en el sentido de referirse a nuestro mundo), pero que sean todas coherentes, el resto bien podrían describir otros posibles mundos.

De hecho, la física (o cualquier otra ciencia, matemática incluida) tampoco es que sea exactamente un cuerpo homogéneo de conocimiento (cf. Domain of Science Quantum Gravity | The Search For a Theory of Everything | 3by3 3. The main theories of physics 2020), por lo que podríamos decir que cada subdisciplina suya describe su propio y contingente universo, que con suerte es coherente con alguna observación de nuestro universo, pero que en ningún caso podemos garantizar que hable sobre la totalidad o la ontología de nuestro universo.

1.4.2 Contingente a priori

Dualmente, nada me impide hacer predicciones (que no dejan de ser juicios a priori) «con certeza» sobre sucesos contingentes, como ponen de manifiesto los casos Gettier (1963), las previsiones meteorológicas o los experimentos de Libet (desde 1970s).

Aunque esto sea medio irrelevante para la discusión, cf. Experiencia docet Un resquicio para el libre albedrío 2012; y ya de paso, La conquista del libre albedrío 2011 y Libre albedrío y neurociencia 2006.

Y si yo no (con el nivel de certeza exigido), definitivamente el demonio de Laplace sí. Y si tampoco creemos en él, en cualquier caso podemos hablar de fórmulas matemáticas (entendidas como juicios a priori) aplicadas a datos concretos (que son por ende contingentes). Y si consideráramos que, si el dato ha sido recolectado a posteriori, dicha aplicación no sería en verdad a priori, podemos simplemente «inventarnos los datos», como cuando graficamos una función para una serie de valores arbitrarios para ver su comportamiento.

Por supuesto, si aceptamos la tesis de la tabula rasa, y si somos estrictos con la expresión «a priori», aun cabría preguntarse si dicha invención y dicha fórmula no son también a posteriori, sugiriendo que dichos términos viven en realidad en un espectro, y que entrañan por ende una cierta ambigüedad. Y si por el contrario, rechazando esto, nos echáramos a los brazos del innatismo (e.g., apelando a la epistemología genética de Piaget,

Cf. Numberphile How do brains count? ft. Brian Butterworth 2020

Stated Clearly What Is The Metabolism-First Hypothesis For The Origin Of life? 2020.

la gramática generativa de Chomsky, o a la programación de robots), aun podríamos señalar que el origen y contenido de dicho código (genético o informático) seguiría siendo de naturaleza empírica y a posteriori (en función de nuestros antepasados),

En particular, podría ser falible (como dejan constancia nuestros sesgos cognitivos), por lo que incluso si quisiéramos tomar esto como nuestro analítico a priori, tendríamos que abandonar muchas de sus atribuciones. Para una discusión complementaria, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 4.2 Externalist Theories of Meaning, 4.4 Chomskyan Strategies in Linguistics, 5. Conclusion.

si es que no es incluso un mero conjunto de instrucciones, incapaces de iniciarse, desarrollarse o aplicarse sin un dato empírico previo.

Como el propio Kant afirma, «No hay duda de que todo nuestro conocimiento comienza por la experiencia. […] Pero [...] no por eso surge todo él de la experiencia».

Crítica de la razón pura (1787) Introducción I

Ahora bien, ¿cómo demarcamos esto último?, ¿cómo asignamos un grado de aprioricidad (o dualmente, empiricidad) a un juicio?,

«Where Kant and others had traditionally assumed that the a priori concerned beliefs “justifiable independently of experience,” Quine and many other philosophers of the time came to regard it as consisting of beliefs “unrevisable in the light of experience.” And, as we have seen, a similar status is accorded the at least apparently analytic. However, this would imply that someone’s taking something to be analytic or a priori would have to regard herself as being infallible about it, forever unwilling to revise it in light of further evidence or argument.» SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.7 Explaining Away the Appearance of the Analytic.

¿dónde ponemos los límites de lo que se puede deducir con una cierta cantidad de información empírica?

1.4.3 Contingente a posteriori analítico

Nótese que, cuando decimos «a posteriori», no significamos sólo «tras el hecho», sino «necesariamente tras el hecho», pues yo podría afirmar tras el hecho algo que podría haber deducido originalmente antes del hecho; e.g., que los ángulos de un triángulo dibujado sobre la hoja de papel que tengo enfrente suman 180º.

Por supuesto, el ejemplo es contestable, en tanto que es equivalente al quinto postulado de Euclides: ¿cómo sé yo que localmente el espacio se comporta según él, si no por medio de la empírea?

Como ya he notado en la sección anterior, soy del todo incapaz de dar un ejemplo de juicio genuinamente a priori, pues incluso en la definición de triángulo como tres ángulos (sobreentendiendo que las rectas que conforman los mismos van a coincidir dos a dos, o de otro modo no compactaríamos las expresión «tres ángulos» en una sola palabra), ¿acaso puedo decir que la noción de tres y de ángulo es a priori?

Sin embargo, la diferencia no siempre es evidente, y es necesario que alguien haga dicha deducción (o pruebe la imposibilidad de la misma) para determinar sin ambigüedad la naturaleza a priori o no de un juicio, lo que a su vez trae a colación las dificultades en teoría de la justificación, problematizando aun más la existencia o no de juicios analíticos que sean contingentes y a posteriori; incluso admitiendo que la distinción vive en un espectro, ya que no hay una única deducción posible de los diferentes teoremas matemáticos (mucho menos de los hechos empíricos),

Como pone de manifiesto, e.g., el teorema de Euclides o el teorema fundamental del álgebra.

ni tienen todas ellas la misma validez lógica.

Como pone de manifiesto, e.g., la interpretación BHK y la matemática constructiva. Y dentro de éstas, la diferente complejidad computacional de sus algoritmos.

No en balde, (casi)

Técnicamente, nada me impide abandonar alguno de los axiomas de un sistema preexistente (de cuya aprioricidad dependería el mío) y explorar las consecuencias de esto, como hacía Bolyai con su geometría absoluta en 1832, o como hacen las definiciones de magma, monoide, grupoide, etc. respecto a los axiomas de grupo abeliano. O incluso «inventarme» unos axiomas que considere que capturan alguna realidad (que habría de ser a priori), o «crearlos» combinatoria-mecánicamente cual mono infinito (¿con qué reglas, con qué signos?).

toda axiomática se desarrolla tras los hechos, a modo de sistematización (por primeros principios) de dichos hechos.

1.4.4 Esencial a priori sintético

El sintético a priori de Kant (e.g., referido a la naturaleza del espacio, que identifica con la geometría euclideana) es seguramente su ejemplo más representativo, pues alega ser un conocimiento que no proviene del mundo, pero que sí habla de él. No obstante, todos los puntos anteriores deberían dejar clara su fragilidad, incluso en sus reformulaciones posteriores.

E.g., Carnap Der Raum (PhD 1921, publicado a 1922), donde distingue entre espacio matemático (analítico a priori), físico (sintético a posteriori) e intuitivo (sintético a priori, que identifica con cierta topología), si bien abandona este último en Philosophical Foundations of Physics III.18 (1966), consciente de la ingenuidad de su propuesta.

A modo de referencia, piénsese que la noción abstracta de espacio métrico se introduce en 1906 (Fréchet), y la de espacio de Hausdorff en 1914, que fue denominado espacio topológico hasta la definición general de Kuratowski (PhD 1921, republicado en 1922); en particular, la riqueza de la disciplina, y de los axiomas de separación

T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{2 \frac{1}{2}}, ..., T_{6}

, y de Counterexamples in Topology (1970), etc. es posterior a Der Raum.

De hecho, hasta me tienta decir que cualquier reformulación nace en esencia muerta, pues admite con su nacimiento la naturaleza contingente y a posteriori del juicio: ¿por qué iba a ser esta vez distinto?, ¿cuántas propuestas podemos tachar de erróneas antes de aceptar que no hay una respuesta correcta?

Esta pregunta puede dirigirse al proyecto mismo de demarcar lo analítico de lo sintético, del cual tumbaremos varias propuestas en este ensayo, si bien el debate sigue (en parte) abierto, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 4. Post-Quinean Strategies, 5. Conclusion.

2 Leibniz, y el principio de razón suficiente

2.1 Postulado

En su racionalismo radical, Leibniz afirma que no necesitamos acudir a la experiencia para conocer el mundo, sino que podemos llegar a todos los juicios verdaderos sobre él a través de su análisis vía la mera razón, y que ésta es la única manera segura de llegar a ellos; en este entendido, todos los juicios sobre el mundo serían (potencialmente) a priori.

Y tentador decir que analíticos, aunque, recordamos, su demaracación se basa en el Principio de Contradicción.

Mi perversión de su razonamiento es el siguiente:

El mundo está compuesto por mónadas.
1. Una mónada es un ente tal que el conjunto de sus predicaciones no puede predicarse de ningún otro ente. O en otras palabras, las mónadas son los elementos resultantes de cocientar al mundo por la relación de equivalencia siguiente: $x \sim y$ ssi $\forall P (P x \leftrightarrow P y$ ), i.e., ssi todo y sólo lo que pueda predicarse de $x$ puede predicarse de $y$ .
  2
  «Es preciso, incluso, que cada Mónada sea diferente de otra cualquiera. Pues nunca se dan en la Naturaleza dos Seres que sean perfectamente el uno como el otro, y en donde no sea posible hallar una diferencia interna» Monadología 9 (7–9).
  
  Aka principio de los indiscernibles, de origen estoico: «Sin duda es estoico, y no muy creíble, este principio: que no hay un cabello, ni tampoco un grano, que sea, en todos sus aspectos, tal cual es otro.» Cicerón Cuestiones académicas 45 aC, Libro II, 85.
  
  Lombraña nota además una conexión entre 8, el «To be is to be the value of a variable» de Quine (On What There Is 1948), y el Parménides de Platón, en relación a la oposición y conexión entre lo uno y lo múltiple.
2. A modo de proxy, puede entenderse mónada como átomo (en su sentido etimológico).
  3
  «Y estas Mónadas son los verdaderos Átomos de la Naturaleza y, en una palabra, los Elementos de las cosas.» Monadología 3 (1–3).
Las mónadas están sincronizadas, relacionadas o subsumidas entre sí por Dios,
4
«al ser esta sustancia [Dios] una razón suficiente de todo ese pormenor que, a su vez, está totalmente entrelazado,» Monadología 39 (36–39), «Dios es la Unidad Primitiva o la sustancia simple originaria, de la que son producciones todas las Mónadas creadas o derivadas» 47.

entendido como Ley Universal Natural
5
«en ningún caso cabe imaginar, como algunos, que las verdades, al depender de Dios, son arbitrarias y dependen de su voluntad» Monadología 46 (43–46).

(i.e., en el mismo sentido panteísta que el «daß der nicht würfelt» de Einstein)
6
«Dios no juega a los dados». Carta a Max Born, 1926-12-4.

o, en su propia terminología, como Principio de Razón Suficiente (todo efecto tiene una, y sólo una, causa).
7
«jamás ocurre algo sin que haya una causa o al menos una razón determinante, es decir, algo que pueda servir para dar razón a priori de por qué algo existe y por qué existe de esta manera más bien que de otra manera». Teodicea 1710, I, 44.

«ningún hecho podría hallarse ser verdadero o existente, ningún enunciado verdadero, sin que haya una razón suficiente por la que ello sea así y no de otra manera, si bien estas razones las más de las veces no nos puedan ser conocidas». Monadología, 32.
Si concretizo o explicito lo suficiente el sujeto de mis juicios, para que no haya ambigüedad sobre la mónada (o conjuntos de mónadas) a la(s) que me refiero, es obvio que mis predicaciones sobre el sujeto están contenidas en el sujeto (por definición de mónada), y que son por ende analíticas bajo el criterio de Kant.
Y si aprendo a leer la susodicha Ley (como instigaban a hacer los estoicos con su equivalencia entre physis y logos), y conozco la red conceptual que conecta todas las mónadas, es obvio que mis predicaciones pueden hacerse a priori.

Personalmente, su definición de mónada —supuesto que la haya entendido bien— sigue pareciéndome fascinante, y casi reminiscente de Carnap,

«He [Carnap] explained spatio-temporal point-instants as quadruples of real numbers and envisaged assignment of sense qualities to point-instants according to certain canons.» Quine. I.e., los objetos son (por abuso de notación) coordenadas espacio-tiempo, y los predicados son relaciones

n

-arias sobre los mismos.

salvo porque la versión de Leibniz se me antoja más ingeniosa,

En cierto modo, es como si Carnap diera la versión analítica, y Leibniz la algebraica.

aunque diría que sigue siendo susceptible a las mismas críticas de Quine, pues el señalamiento o concreción de la mónada es empírico y dependiente del lenguaje (o del contexto o juego de dicho lenguaje). O en otras palabras, el análisis no se hace sólo en la cabeza, pues no en balde es un análisis del mundo, o una deducción derivada de la observación del mundo.

Por supuesto, esta es mi perversión de su argumento, pues lo que en realidad dice Leibniz es que, conociendo el Principio de Razón Suficiente (que, arguye, puede conocerse a priori, en tanto que es en sí necesario), y razonando por primeros principios desde Él, entonces puedo llegar a todos los juicios verdaderos de forma a priori y analítica.

Por otra parte, nuevamente, el principio de razón suficiente sigue pareciéndome fascinante, si bien la independencia de AC (Cohen 1963) y la desigualdad de Bell (1964) lo ponen bajo serio cuestionamiento.

2.2 Ejemplos

En matemáticas, yo no puedo afirmar que el sujeto «triángulo» cumpla el predicado «sus ángulos interiores suman exactamente 180º», pues esto es falso en geometría esférica. Pero sí puedo afirmar dicho predicado para el sujeto «triángulo euclidiano», usando las relaciones conceptuales de la geometría euclidiana. Mismamente, el predicado «la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa» tampoco es cierto para dicho sujeto, pero sí para «triángulo euclidiano rectángulo», lo que puedo demostrar usando relaciones conceptuales matemáticas varias.

Por su parte, en mi cotidianidad, yo tampoco puedo afirmar que el sujeto «computadora» cumpla el predicado «es negra», pues las tiendas de informática están repletas de contraejemplos. Ni quizá tampoco pueda afirmarlo para el sujeto «mi computadora», pues puedo tener (o haber tenido) varias. Pero en algún momento voy a llegar a un sujeto lo suficiente específico como para que sea cierto; e.g., «la computadora que estoy usando ahora mismo».

Y no es sólo que el sujeto sea lo suficiente concreto como para que sus propiedades (o predicados) estén unívocamente determinados, pues parecería que puedo imaginarme otro predicado para el sujeto (e.g., no hay contradicción aparente en imaginarme que hubiera podido comprar una computadora de otro color). Sino que, usando mi conocimiento de mí, y de las computadoras, y de la actualidad, y de las relaciones conceptuales que se dan entre ellas (y, si es necesario, entre otros conceptos, como los que surgirán al especificar los sujetos «Sékioz», «PC» y «ahora», ampliando la red cuanto haga falta; e.g., incluyendo la oferta del mercado, mi presupuesto, mis necesidades, etc.), puedo alcanzar dicha verdad sobre el mundo a través de la mera razón.

Por supuesto, otro tema es que ello requiera de un conocimiento de la totalidad de las cosas al que no puedo aspirar como mortal,

Ni siquiera en disciplinas menos empíricas como la matemática, o de otro modo no nos hubiéramos tardado tanto en romper la geometría de Euclides y la lógica de Aristóteles, o lo que es lo mismo, en ampliar la totalidad de aquello a lo que llamamos geometría y lógica.

y al que sólo puedo atribuir, con suerte, al demonio de Laplace, que tiene sus propios problemas.

Someramente comentados en El giro copernicano de Kant.

O que requiera de una red conceptual potencialmente infinita (por el trilema de Agripa) que se extienda hasta el principio de los tiempos, como en una suerte de recursión al infinito aristotélica que trata de alcanzar la causa incausada que justificaría eventualmente todo lo demás.

Esto es algo que el propio Leibniz nota en Monadología 36–37:

«la resolución en razones particulares podría descender hasta un pormenor sin límites, a causa de la inmensa variedad de las cosas de la Naturaleza y de la división de los cuerpos al infinito. Hay una infinidad de figuras y de movimientos, presentes y pasados, que entran en la causa eficiente de mi escritura actual; y hay una infinidad de ligeras inclinaciones y disposiciones de mi alma, tanto presentes como pasadas, que entran en la causa final.

(37) Y como todo este pormenor no contiene sino otros contingentes anteriores o más pormenorizados, cada uno de los cuales requiere asimismo, para dar razón de él, un Análisis similar, no hemos avanzado nada».

Es de ahí, de hecho, que concluye «que la razón suficiente o última se encuentre fuera de la sucesión [...] en una sustancia necesaria [Dios]» 37–38.

O que dependa por completo del Principio de Razón Suficiente.

De ahí que, si bien pareciera posible deducir analíticamente (vía la mera razón), a partir de las leyes universales de la naturaleza, cualquier juicio sintético, resulta en última instancia más cómodo comprobarlo en la empírea, aun a pesar de las posibles fallas de los sentidos. Pues, no en balde, y a modo de referencia, los Principia de Russell y Whitehead (1910, 1912) se tardan 750 páginas en demostrar que

1 + 1 = 2

, con el tiempo, tedio, riesgo de error, etc. que conlleva semejante longitud. Juicio que, dada la naturaleza no lógica (y por ende, no amparada en el Principio de Contradicción) de los axiomas de reducibilidad (fuertemente criticado de ad hoc), del infinito y de elección, sería, hasta que se demuestre lo contrario, de tipo sintético.

De hecho, con el surgimiento de las lógicas no clásicas, podría hacerse una crítica similar a todas sus definiciones y axiomas (cf. 5.2), pues ya no puede mantenerse que «hay Axiomas y Postulados ó, en una palabra, principios primitivos, que no pueden probarse ni necesitan prueba; son éstos las Enunciaciones idénticas, cuyo opuesto encierra una contradicción expresa» Monadología 35.

2.3 Cierre

En resumen, parece que volvemos a topar aquí con que:

O bien el Principio de Contradicción (o la idea de necesidad) no demarca las ciencias formales de las experimentales (o lo analítico de lo sintético), o bien todas las ciencias son experimentales (y todos los juicios son sintéticos), o bien dichas nociones viven en un espectro.
No hay una distinción fuerte entre a priori y a posteriori, pues dada la conveniente llave maestra, todo puede explicarse a priori. De hecho, como pone de manifiesto Leibniz, ni siquiera necesitamos que se nos dé dicha llave: basta con creer en su existencia, para afirmar que todo juicio es a priori; incluida la propia llave, si consideramos que ella misma es en sí necesaria.
La idea flotante de que podríamos ser menos restrictivos en nuestra demarcación, entendiendo lo analítico como lo deducible (proxy de lo a priori o lo razonado, e incluso de lo actuable), y lo sintético como la base de dicha deducción (en forma de Dios, Principio de Razón Suficiente, Ley Universal Natural o, más en general, punto de partida o axioma), que en contra de Leibniz,
15
E.g., apelando a la independencia de AC o la desigualdad de Bell.

podríamos considerar el juicio a posteriori por antonomasia (proxy de lo que viene dado, o sobre lo que no tenemos agencia o elección).

Antes de explorar este último punto en 5, veamos que tiene que decir Kant, el gran popularizador de esta distinción.

3 Kant, y la aritmética como sintético a priori

3.1 Postulado

«Podría pensarse al principio que la proposición: 7 + 5 = 12, es una proposición meramente analítica, que se sigue del concepto de una suma de siete y de cinco, según el principio de contradicción. Pero, cuando se considera más de cerca, se encuentra que el concepto de la suma de 7 y 5 no encierra nada más que la reunión de ambos números en uno sólo, con lo cual no se piensa de ningún modo cuál sea ese número único que comprende los otros dos. El concepto de doce no es, en modo alguno, pensado ya en el pensamiento de aquella reunión de siete y cinco, y por mucho que analice mi concepto de una suma semejante posible, no encontraré en él el número doce.

En mi opinión, basta expresar la suma en base unaria para darse cuenta de lo contrario: el sujeto «12» contiene literalmente el predicado «es 7 y 5». Es únicamente el fraseado de Kant lo que sugiere lo contrario, o lo que lo oscurece.

Un argumento alternativo (y más pobre) sería repensar a

12

como

{(n, m) \in Z^{2} : n + m = 12}

, lo que quizá no sería tan extraño si tuviéramos en cuenta que, en la construcción usual de

Z

, se toma

[12] = {(n, m) \in N^{2} : n = m + 12}

(i.e., el 12 representa la clase de equivalencia de todas las parejas de naturales cuya resta, del derecho al izquierdo, da 12). (Digo más pobre porque mi definición no está motivada, a diferencia del caso de

Z

Hay que salir de esos conceptos, ayudándose con la intuición que corresponde a uno de ellos, por ejemplo, los cinco dedos

Cf. Wikipedia Hume's principle.

o bien (como Segner en su Aritmética)

Primer catedrático de matemáticas de Göttingen a 1735, e influencia de Euler. Sobreentiendo que la obra referida es Elementa Arithmeticae Geometriae et Calculi Geometrici (1756), publicada en alemán a 1764.

Interesantemente, Segner es también el autor de Specimen logicae universaliter demonstratae (1740), donde siguiendo de cerca a Leibniz, da un tratamiento algebraico de los silogismos mediante 16 definiciones y 2 axiomas, entre las que se encuentra la igualdad como dos inclusiones (algo de lo que se vanagloriara Frege en Begriffsschrift 1879), cf. Haaparanta The Development of Modern Logic, 3.10 (2009).

cinco puntos,

Con lo que sí estoy de acuerdo, es que el concepto de número, que no de suma (o no, al menos, en razón de su argumento, que se me hace del todo artificioso), se basa en una intuición sensible, como ya he insinuado antes (en este y otros ensayos).

y así poco a poco añadir las unidades del cinco, dado en la intuición, al concepto del siete. Pues tomo primero el número 7 y, ayudándome como intuición de los dedos de mi mano para el concepto del 5, añado las unidades, que antes había recogido para constituir el número 5, poco a poco al número 7, siguiendo mi imagen, y así veo surgir el número 12.

No deja de sorprenderme (tanto como al Frege de 3.2.1) que, con una descripción tan empírica de la situación, luego afirme tan gratuitamente que la aritmética es a priori (o universal e independiente de la experiencia).

Quiero decir, aunque técnicamente es posible que sea universal, pero que nosotros sólo podamos acceder a ella desde lo particular, ¿bajo qué base damos el salto de afirmar que en efecto es universal?

Que 5 ha de añadirse a 7, es cierto que lo he pensado en el concepto de una suma = 7 + 5; pero no que esa suma sea igual al número 12. La proposición aritmética es, por tanto, siempre sintética y de esto se convence uno con tanta mayor claridad cuanto mayores son los números que se toman, pues entonces se advierte claramente que por muchas vueltas que le demos a nuestros conceptos, no podemos nunca encontrar la suma por medio del mero análisis de nuestros conceptos y sin ayuda de la intuición.»

Personalmente, encuentro este último argumento muy débil, en consonancia con el Frege de 3.2.1.

Kant Crítica de la Razón Pura 1787, Introducción, V.

Kant continua la discusión en: I, Segunda parte, Primera división, Libro segundo, Capítulo II, Sección tercera, 1: Axiomas de la intuición. Allí prueba que «Todas las intuiciones son magnitudes extensivas», donde se entiende por magnitud a la «síntesis de lo múltiple [o unificación en la conciencia de lo homogéneo en lo diverso] mediante la cual se producen las representaciones de un determinado espacio o tiempo», y por extensiva «a aquella en que la representación de las partes hace posible la representación del todo». Afirma entonces que la geometría, con sus axiomas, funda (o rige) la síntesis de figuras (i.e., las intuiciones espaciales).

Sorprendentemente, Kant no hace el paso (bastante natural desde su posición, en mi opinión) de conectar la aritmética con la intuición temporal, algo que sí hará Hamilton Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time (1837).

En cuanto a la aritmética:

«Pero en lo que se refiere a la magnitud (quantitas), es decir a la respuesta que se da a esta pregunta: ¿Cómo es de grande tal cosa?, no hay para ella axiomas en el sentido propio,

Las primeras axiomáticas vendrán con Peirce On the Logic of Number 1881 y Peano Arithmetices principia: nova methodo exposita 1889, basándose esta última en la construcción por teoría de conjuntos en Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen? 1888, que había sido desarrollada independientemente en Frege Grundlagen der Arithmetik 1884.

aunque varias de esas proposiciones son sintéticas e inmediatamente ciertas (indemonstrabilia).

Viniendo del fragmento anterior, esta es una afirmación bastante chocante, y que el Frege de 3.2.1 le critica.

Pues la proposición siguiente: cantidades iguales, añadidas o sustraídas a cantidades iguales, dan cantidades iguales,

Nociones comunes 2 y 3 de Los Elementos de Euclides, llamadas así (siguiendo a Aristóteles) porque se aplican a todas las ciencias; o en otras palabras, porque se consideraban axiomas de la lógica, aunque hoy diríamos que son más bien de la aritmética.

Más formalmente, la sentencia diría que

(\forall x, y, z \in N) (x = y \Rightarrow x \pm z = y \pm z)

, resultado que queda esencialmente encapsulado en el axioma 4 de Peano.

es analítica, porque tengo inmediatamente conciencia de la identidad de una y otra producción de magnitud; los axiomas empero han de ser proposiciones sintéticas.

Aunque esta última afirmación resuena con lo que venimos discutiendo en secciones anteriores, no deja de sorprenderme que no considere a las nociones comunes de Euclides axiomas, teniendo en cuenta que éste las recoge como tal. El motivo, quizá aun más sorprendente, es que Kant veta a la lógica del reino de lo sintético, en el que sí incluye a la matemática, considerándolas disciplinas disjuntas. Separación problematizada con la construcción lógica de los naturales por parte de Frege y Dedekind, o la reconsideración de las susodichas nociones comunes como aritméticas en vez de lógicas.

Esta precaución proviene, posiblemente, de sus sospechas hacia la solidez de los argumentos ontológicos y la razón especulativa en general: cancelar a la lógica por principio, es su manera de sellar esa brecha. Una solución que no dista mucho de matar moscas a cañonazos, en mi opinión, y que deja en un extraño lugar a la matematización de la lógica (desde el álgebra universal y la teoría de modelos y conjuntos) y la logizicación de la matemática (desde el logicismo y la teoría de pruebas y computabilidad) del s. XIX-XX.

En cambio las proposiciones evidentes de la relación numérica, si bien son sintéticas, no son universales,

Otra afirmación que choca con la presunta aprioricidad de la aritmética, y que trata de reconciliar el hecho de que dichas relaciones numéricas hablen sobre entes contingentes (i.e., números particulares), pero que sean a su vez evidentes (no en el sentido de ser necesarias, o deducirse del principio de contradicción, sino en el controvertido sentido de indemonstrabilia, cf. 3.2.1).

como las de la geometría, y por eso no pueden llamarse axiomas, sino fórmulas numéricas. [...]

Omito la repetición del argumento de la introducción.

Pero aunque sintética, es sin embargo una proposición particular. Por cuanto se atiende aquí sólo a la síntesis de lo semejante (las unidades),

Por el principio de Hume–Cantor.

no puede la síntesis ocurrir más que de una única manera,

El axioma 4 de Peano, y más explícitamente, los modelos no estándar de la aritmética (Skolem 1934), contestan esta afirmación.

aunque el uso de esos números es luego universal. Cuando yo digo: con tres líneas, dos de las cuales juntas son mayores que la tercera, se puede trazar un triángulo,

Aka desigualdad triangular, Euclides I.20.

tengo la mera función de la imaginación productiva, que puede trazar las líneas más largas y más cortas y hacer que se encuentren en todos los ángulos que quiera. En cambio el número 7 no es posible más que de una única manera y así mismo el número 12, producido por la síntesis del primero con 5.

La analogía me parece de lo más pobre, como pone de manifiesto la reformulación de la desigualdad triangular en términos numéricos:

(\forall x, y \in R^{2}) ({∥ x + y ∥}_{2} \leq {∥ x ∥}_{2} + {∥ y ∥}_{2})

. Es decir, cuando estiramos los segmentos, estamos simplemente engrandando los números; y hacer que se encuentren en distintos ángulos, es sólo el resultado de la variación de cierta relación entre los números implicados.

Semejantes proposiciones no deben pues, llamarse axiomas (pues habría infinitos de éstos) sino fórmulas numéricas.

Nótese que los esquemas de axiomas, como el quinto de Peano sobre la inducción, constituyen o representan un conjunto infinito numerable de axiomas. Más aún, ni Peano ni ZFC pueden ser finitamente axiomatizados, cf. Ryll-Nardzewsk The role of the axiom of induction in elementary arithmetic 1952 y Montagu Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I 1961.

3.2 Críticas

3.2.1 Dedekind. De la auto-evidencia de la aritmética

«is it really self-evident that 135664 + 37863 = 173527? It is not; and Kant actually urges this as an argument for holding these propositions to be synthetic. Yet it tells rather against their being unprovable; for how, if not by means of a proof, are they to be seen to be true, seeing that they are not immediately self-evident? Kant thinks he can call on our intuition of fingers or points for support, thus running the risk of making these propositions appear to be empirical, contrary to his own expressed opinion; for whatever our intuition of 37863 fingers may be, it is at least certainly not pure. Moreover, the term "intuition" seems hardly appropriate, since even 10 fingers can, in different arrangements, give rise to very different intuitions.

En efecto, podemos contar en base 8 usando los huecos entre los dedos (tribu Yuki), en base 12 contando las falanges de los dedos de una mano (usando el pulgar de la misma como puntero), en base 60 usando la otra mano para contar el número de iteraciones (Babilonia, vestigios en segundos [de tiempo y de angulo] que tiene un minuto), en base 6 usando el puño para representar el 6, etc.

And have we, in fact, an intuition of 135664 fingers or points at all? If we had, and if we had another of 37863 fingers and a third of 173527 fingers, then the correctness of our formula, if it were unprovable, would have to be evident right away, at least as applying to fingers; but it is not.

Kant, obviously, was thinking only of small numbers. So that for large numbers the formulae would be provable, though for small numbers they are immediately self-evident through intuition. Yet it is awkward to make a fundamental distinction between small and large numbers, especially as it would scarcely be possible to draw any sharp boundary between them.

Por la paradoja sorites. No obstante, es posible que en verdad sea así, cf. Numberphile How do brains count? ft. Brian Butterworth 2020.

» Frege The Foundations of Arithmetic 1884 I, Are numerical formulae provable?, 5

«In science nothing capable of proof ought to be accepted without proof. Though this demand seems so reasonable yet I cannot regard it as having been met even in the most recent methods of laying the foundations of the simplest science; viz., that part of logic which deals with the theory of numbers. In speaking of arithmetic (algebra, analysis) as a part of logic I mean to imply that I consider the number-concept entirely independent of the notions or intuitions of space and time, that I consider it an immediate result from the laws of thought. [...] numbers are free creations of the human mind; they serve as a means of apprehending more easily and more sharply the difference of things. It is only through the purely logical process of building up the science of numbers and by thus acquiring the continuous number-domain that we are prepared accurately to investigate our notions of space and time by bringing them into relation with this number-domain created in our mind.

Es decir, la noción de continuo espacio-temporal se construye a partir de lo discreto (en contra de Poincaré, que considera la continuidad una intuición a priori, y dicha construcción un mero formalismo o racionalización a posteriori), completando los racionales con los irracionales (e.g., vía cortaduras de Dedekind), donde los primeros se construyen a partir de los enteros (cocientandolos para que tengan inverso por el producto), y éstos a su vez a partir de los naturales (análogamente respecto a la suma), que quedan fundados en la teoría de conjuntos, que para Dedekind viene dada por la pura razón, como ejemplifica perfectamente su teorema 66 sobre la existencia de conjuntos infinitos en Was sind und was sollen die Zahlen? (1888):

«My own realm of thoughts, i.e., the totality

S

of all things which can be objects of my thought, is infinite. For if

s

signifies an element of

S

, then is the thought

s'

, that

s

can be object of my thought, itself an element of

S

. If we regard this as transform

φ (s)

of the element

s

, then has the transformation

φ

S

, thus determined, the property that the transform

S'

is part of

S

; and

S'

is certainly proper part of

S

, because there are elements in

S

(e.g., my own ego) which are different from such thought

s'

and therefore are not contained in

S'

. Finally it is clear that if

a, b

are different elements of

S

, their transforms

a', b'

are also different, that therefore the transformation

φ

is a distinct (similar) transformation».

Sin embargo, ¿tendría siquiera pensamientos, si hubiera nacido sin sentidos, y no tuviera en mi haber ni una sola experiencia empírica?, ¿tendrían sentido entonces dichas inferencias?

If we scrutinise closely what is done in counting an aggregate or number of things, we are led to consider the ability of the mind to relate things to things, to let a thing correspond to a thing, or to represent a thing by a thing,

Aka principio de Hume-Cantor.

an ability without which no thinking is possible. [...]

This memoir can be understood by any one possessing what is usually called good common sense; no technical philosophic, or mathematical, knowledge is in the least degree required. But I feel conscious that many a reader will scarcely recognise in the shadowy forms which I bring before him his numbers which all his life long have accompanied him as faithful and familiar friends; he will be frightened by the long series of simple inferences corresponding to our step-by-step understanding, by the matter-of-fact dissection of the chains of reasoning on which the laws of numbers depend, and will become impatient at being compelled to follow out proofs for truths which to his supposed inner consciousness seem at once evident and certain. On the contrary in just this possibility of reducing such truths to others more simple,

Aunque siento una profunda debilidad por Dedekind, merece la pena preguntarse: ¿más simples en base a qué? ¿No pudiera ser que «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk», como se afirma en Weber Leopold Kronecker 1893?

Brian Butterworth Low Numeracy: From Brain to Education Introduction (2018) plantea esto mismo, afirmando que el punto de partida son los naturales (y no los racionales, como decía Kronecker) entendidos como cardinalidades de conjuntos (por el principio de Hume-Cantor), dándole la razón a Dedekind. Si bien, por supuesto, esto no quiere decir que su construcción de los racionales a partir de los conjuntos constituya una descripción de los procesos mentales, ni del desarrollo cognitivo, que en verdad se sucede en el cerebro, como parece insinuar Dedekind con su «from the time of birth...» final, y el tono general del prefacio.

no matter how long and apparently artificial the series of inferences, I recognise a convincing proof that their possession or belief in them is never given by inner consciousness but is always gained only by a more or less complete repetition of the individual inferences. I like to compare this action of thought, so difficult to trace on account of the rapidity of its performance, with the action which an accomplished reader performs in reading; this reading always remains a more or less complete repetition of the individual steps which the beginner has to take in his wearisome spelling-out; a very small part of the same, and therefore a very small effort or exertion of the mind, is sufficient for the practised reader to recognise the correct, true word, only with very great probability, to be sure; for, as is well known, it occasionally happens that even the most practised proof-reader allows a typographical error to escape him, i.e., reads falsely, a thing which would be impossible if the chain of thoughts associated with spelling were fully repeated.

Su analogía pone de manifiesto que, incluso aunque su construcción no refleje la ontología del cerebro (mucho menos la de la realidad), sigue siendo útil, instructiva y reveladora, e.g., en el proceso de proof-reading, automated theorem proving, proof verification, etc.

So from the time of birth, continually and in increasing measure we are led to relate things to things and thus to use that faculty of the mind on which the creation of numbers depends; by this practice continually occurring, though without definite purpose, in our earliest years and by the attending formation of judgments and chains of reasoning we acquire a store of real arithmetic truths to which our first teachers later refer as to something simple, self-evident, given in the inner consciousness; and so it happens that many very complicated notions (as for example that of the number of things) are erroneously regarded as simple.» Dedekind The nature and meaning of numbers 1887, Preface to the first edition

O como resumen en IEP: «chains of inferences can be so long, unconscious, and even frightening, that we may not recognize them as purely logical, even if they are». O en otras palabras, las tautologías (y lo analítico y a priori) no tienen porque ser auto-evidentes, como en cierto modo ya notamos en 2 en relación al Principio de Razón Suficiente.

3.2.2 Frege. De los contenidos de la aritmética

«To quote Mill: "The doctrine that we can discover facts, detect the hidden processes of nature, by an artful manipulation of language, is so contrary to common sense, that a person must have made some advances in philosophy to believe it."

A System of Logic Ratiocinative and Inductive, Being a Connected View of the Principles of Evidence and the Methods of Scientific Investigation 1843, II.6.2.

Very true —if it be supposed that, during the artful manipulation we do not think at all. Mill is here criticizing a kind of formalism that scarcely anyone would wish to defend. Everyone who uses words or mathematical symbols makes the claim that they mean something, and no one will expect any sense to emerge from empty symbols. But it is possible for a mathematician to perform quite lengthy calculations without understanding by his symbols anything intuitable, or with which we could be sensibly acquainted.

Por el fraseado usado aquí y a continuación, sospecho que Frege exige que tengan sentido y significado (aka referencia) únicamente a los símbolos. Sin embargo, para que las «lengthy calculations without understanding» tengan legitimidad, también los cálculos (término con el que probablemente Frege se refiere a las reglas de la lógica, de las que se deriva toda la matemática a través de la aritmética, y que entiende como tautológicas) deben estar fundados en esas bases (i.e., tener un contenido semántico y un sentido empírico), matiz que añadirá Quine.

Y en ese entendido, la lógica no es una mera manipulación sintáctica estéril de símbolos sin significado, sino un cálculo de Hilbert-Ackerman (i.e., unas reglas sintácticas que encapsulan una cierta realidad empírica, que varia entre la lógica clásica, intuicionista, modal, etc.) y una estructura algebraica sobre la que opera (i.e., un modelo, formado esencialmente por el universo del discurso y las relaciones que se establecen entre sus elementos).

And that does not mean that the symbols have no sense; we still distinguish between the symbols themselves and their content, even though it may be that the content can only be grasped by their aid. We realize perfectly that other symbols might have been arranged to stand for the same things. All we need to know is how to handle logically the content as made sensible in the symbols and, if we wish to apply our calculus to physics, how to effect the transition to the phenomena.» Frege op. cit., Are the laws of arithmetic synthetic a priori or analytic?, 16

«However much we may disparage deduction, it cannot be denied that the laws established by induction are not enough. New propositions must be derived from them which are not contained in any one of them by itself. No doubt these propositions are in a way contained covertly in the whole set taken together, but this does not absolve us from the labour of actually extracting them and setting them out in their own right.

Personalmente, éste me parece un argumento muy débil: ¿y están más contenidas cuanto menos trabajo nos cuesta obtenerlas?, ¿dependen por ende de la inteligencia que las deriva, o de los métodos usados?, ¿la aparición de one line proofs cambia la naturaleza de nuestras proposiciones matemáticas?

Por el contrario, no creo que podamos ir más allá de su «these propositions are in a way contained covertly in the whole set taken together», que recuerda al holismo de Quine (con todas sus implicancias).

This seen, we can see also the following possibility. Instead of linking our chain of deductions direct to any matter of fact, we can leave the fact where it is, while adopting its content in the form of a condition.

Por supuesto, para luego poder aplicar en el mundo fáctico los correspondientes resultados derivados lógicamente de dicha condición, tendremos que verificar primero que se da factualmente dicha condición (o en otras palabras, dicha hipótesis de nuestro teorema), como el mismo Frege nota más adelante.

Pero este planteamiento, aunque astuto, es problemático en ambas direcciones, como nota Quine, pues en el proceso de tipificar el hecho en condición hay una reducción difícil de legitimar, y tampoco es fácil verificar que se da un hecho aislado en una realidad holistica.

By substituting in this way conditions for facts throughout the whole of a train of reasoning, we shall finally reduce it to a form in which a certain result is made dependent on a certain series of conditions. This truth would be established by thought alone

No deja de sorprenderme que a pesar de su insistencia en que «symbols makes the claim that they mean something», «adopting its [the fact] content in the form of a condition», etc. afirme tan a la ligera que los teoremas matemáticos se establecen únicamente mediante el pensamiento. Aunque, nuevamente, se debe entender que por «establecer» se refiere a deducir lógicamente, y que Frege considera a la lógica como algo puramente mental, innato. No en balde, el «establishment» de la lógica clásica no sería abierta y seriamente discutido hasta 1920s gracias a Brouwer, por mucho que hubieran instancias previas; e.g., de lógica trivaluada en Ockham (Summa Logicae 1323, III.III.30) y Peirce (1902, inédita hasta Fisch 1966).

or, to use Mill's expression, by an artful manipulation of language. It is not impossible that the laws of number are of this type. This would make them analytic judgements, despite the fact that they would not normally be discovered by thought alone; for we are concerned here not with the way in which they are discovered but with the kind of ground on which their proof rests; or in Leibniz's words, "the question here is not one of the history of our discoveries, which is different in different men, but of the connexion and natural order of truths, which is always the same."

Aunque su defensa es muy conmovedora, veo difícil escapar de la contingencia de nuestra condición humana e individual (1.4.3), y quizá incluso muy arrogante pretenderlo, como muestra el haber dado por hecho a la lógica clásica como a la lógica durante 2200 años: darle la categoría de «valor por defecto» no la hace menos arbitraria, ni tampoco —en palabras de Leibniz— cierta en todos los mundos posibles.

En cierto modo, de hecho, caemos aquí en un problema análogo al de 2 y 3.1: quizá sea técnicamente cierto que haya leyes independientes de la empírea (e.g.,

\forall x (x = x)

, y demás sentencias válidas), pero nosotros no podemos conocerlas sino a través de la empírea, ni tampoco podemos garantizar nunca que no dependan de la empírea, ni que nuestra percepción sea un reflejo auténtico de dicha ley o ontología.

It would then rest with observation finally to decide whether the conditions included in the laws thus established are actually fulfilled. Thus we should in the end arrive at the same position as we should have reached by linking our chain of deductions direct to observed matters of fact. But the type of procedure here indicated is in many cases to be preferred, because it leads to a general proposition, which need not be applicable only to the facts immediately under consideration. The truths of arithmetic would then be related to those of logic in much the same way as the theorems of geometry to the axioms.

Recordamos que este es el objetivo y logro último del libro, desarrollado en IV. Por otra parte, sobreentiendo que se refiere a los axiomas de Euclides, a pesar de que en época de Frege ya habían sido cuestionados, cf. 4.

Each one would contain concentrated within it a whole series of deductions for future use, and the use of it would be that we need no longer make the deductions one by one, but can express simultaneously the result of the whole series. If this be so, then indeed the prodigious development of arithmetical studies, with their multitudinous applications, will suffice to put an end to the widespread contempt for analytic judgements and to the legend of the sterility of pure logic.

Huelga decir que concuerdo con su conclusión y comulgo con su sentir, aunque difiera en su argumento: la lógica no es estéril porque es empírica y sintética.

» ib. 17

4 Paréntesis

4.1 Del status de la geometría

En ib. 13 y 89, Frege apoya la tesis de Kant de que la geometría es, por el contrario, sintética. Sin embargo, su fraseado me hace pensar que ésta ya no era la opinión dominante: «In calling the truths of geometry synthetic and a priori, he [Kant] revealed their true nature. And this is still worth repeating, since even to-day it is often not recognized».

El cambio de sentir puede verse también en «alle Kunstausdrücke durch beliebige neu erfundene (bisher sinnlose) Worte zu ersetzen, das Gebäude darf, wenn es richtig construirt ist, dadurch nicht einstürzen» (Dedekind a Lipschitz, carta del 1876-7-27)

Parafraseando, debo poder sustituir todos los tecnicismos por palabras recién inventadas, hasta entonces sin sentido, sin que mi teoría se resienta por ello (pues el quid de la cuestión está en la interrelación de los términos, no en los términos en sí). Dedekind añade en su carta que su construcción de

R

de 1872 pasa tal test, pero que Euclides no.

y «Man muß jederzeit an Stelle von 'Punkte, Geraden, Ebenen' 'Tische, Stühle, Bierseidel' sagen können» (Hilbert 1891, según Otto Blumenthal Lebensgeschichte 1935),

Un comentario muy similar a estos puede verse en Pasch Vorlesungen über neuere Geometrie (1882). De hecho, el axioma que lleva su nombre (1882, asunción implícita en Euclides, pero independiente de sus cinco axiomas) es justo una concreción material, o paso adelante, en esa dirección.

que criticaban la naturaleza fenomenológica —en vez de lógica— de Euclides, y que motivaron las primeras axiomáticas modernas de geometría: Pasch (1882, proyectiva real

P (R)

), Mario Pieri (1898 proyectiva compleja, 1900 absoluta, 1908 euclidiana), Hilbert (1899, euclidiana),

Hilbert usa seis nociones primitivas; Pieri, sólo dos: punto y equidistancia.

Veblen (PhD 1903, proyectiva),

Al igual que Pieri, usa sólo dos nociones primitivas (i.e., términos indefinidos, o definidos indirectamente mediante una serie de axiomas, o proposiciones indemostrables, sobre ellos), pero cambiando join por order, siguiendo a Pasch y Peano en vez de Hilbert y Pieri. A este respecto, Veblen nota además que: «the congruence relations are made the subject of definitions ** rather than of axioms.

** A definition is an agreement to substitute a simple term or symbol for more complex terms or symbols. On the distinction between definitions and axioms see A. Padoa, Biblothèque du Congrès International de Philosophie, III, "Logique et Histoire des Sciences" (1901), p. 309 ; Peano, ibid. [I principii di geometría, Turin, 1889; Sui fondamenti della geometría, Rivista di Matemática, vol. 4 (1894)], p. 279 ; E. H. Mooee, Bulletin of the American Mathematical Society (2), vol. 9 (1903), p. 402. O. Veblen, Monist, vol. 13, no. 2 (January, 1903), pp. 303-9.»

En esta última fuente, Veblen continua: «We have therefore, in addition to the problem of determining a set of independent axioms, the analogous problem of determining an irreducible set of elements [nociones primitivas], i. e., a system of elements such that no one of them can be defined in terms of the others [...] We thus have at hand a case showing how a system of axioms [Hilbert 1899] may be non-redundant while the system of elements is not irreducible».

Continuaremos esta discusión en 5.2.

Tarski (1959 euclidiana),

Siguiendo a Pieri, pero formulándola en lógica de primer orden (sin conjuntos); sistema completo.

Heyting (1959 afín,

Euclídea sin congruencias. Mejor entendible en el contexto del Programa de Erlangen (Klein 1872) —o, más en general, la teoría de invariantes—, puente entre la aparición de geometrías no euclídeas y las axiomatizaciones de las distintas geometrías.

1963 proyectiva)...

Otro buen y anterior testimonio de dicho giro es la aparición de la geometría hiperbólica (Lobachevsky 1829),

Precedentes olvidados en Khayyam 1077 y Saccheri 1733.

absoluta (Bolyai 1832),

I.e., Euclides sin el quinto postulado. Nótese que esto no incluye a la geometría elíptica, en donde tampoco se cumple el segundo.

diferencial (Gauss 1827, Riemann 1868),

Teoría omniabarcante (de la euclídea, hiperbólica y elíptica) mediante la introducción del tensor de curvatura. Nótese que dicha clasificación en tres sólo es exhaustiva en 2D (por el uniformization theorem), pero no en 3D (por Thurston's geometrization conjecture 1982, completándose la prueba a 2003 gracias al aporte de Perelman), donde existen además espacios inhomogeneos o anisotropos (e.g., Mixmaster universe, aka Bianchi type IX 1898, aka

O (3)

), en los que no se cumple el cuarto postulado de Euclides.

En aras de la exhaustividad, la geometría discreta y la topología discreta niegan directamente el postulado 1, e indirectamente el 3.

proyectiva (Staudt 1847, Beltrami 1868, Klein 1871),

Ejemplo preeminente de geometría no orientable. Mejor entendible en el contexto del álgebra lineal, la teoría de invariantes y el álgebra geométrica, asumiendo un rol similar al de

C

respecto de

R

en relación a la geometría afín

A

etc., así como la invención del heliotropo (Gauss 1821), que perseguía testear empíricamente cual de todas estas era la que se daba realmente en nuestro universo, aunque para llegar a averiguarlo habría que esperar a Eddington (1919):

Desde entonces han seguido haciéndose experimentos dando la razón a Einstein, siendo el más notable y reciente LIGO (2016).

Euclides sólo aplica localmente.

Sobre si esta revolución cierra o no la cuestión, es un debate aun abierto, cf. SEP Kant’s Philosophy of Mathematics 3. Commentary and Interpretive Debate.

Una última instancia de lo trascendental que fue este siglo en lo referente a la concepción de la geometría y la matemática puede verse en: «A testimony of this pre-eminence is the name "geometer", which was given to all mathematicians up until the end of the nineteenth century, even to those who were not concerned with geometry!» Dieudonné Mathematics - The Music of Reason 1992, VI.2.A.
13
Original: Pour l'honneur de l'esprit humain 1987.

14
Si bien Dieudonné era un brillante matemático perteneciente al colectivo Bourbaki, reconocido además por estudios en historia de la matemática como Historical development of algebraic geometry 1972, lo cierto es que no he podido confirmar su afirmación, aunque por lo dicho tampoco la pongo seriamente en duda.

Quiero decir, es claro que geómetra era sinónimo de matemático en el s. XVII (Hobbes, Spinoza, Galileo, Newton...) y posiblemente el XVIII (o de otro modo no sería rompedor el «no encontrará figuras en este trabajo» de Lagrange en Mécanique Analytique 1788, prefacio), pero no he podido confirmarlo en The Oxford English Dictionary 1989, que el ejemplo más reciente que provee que admite ese sentido es: «possessing depth and extent of mathematical knowledge, he [Cavendish] reasoned with the caution of a geometer upon the results of his experiments» Humphry Davy Historical View of the Progress of Chemistry 1812.

4.2 De un presunto sintético a priori en física

«Si se admite que en una variedad de sustancias consideradas como fenómenos, esté cada una perfectamente aislada, es decir, que ninguna obre sobre la otra y reciba recíprocamente su influencia, digo entonces que su simultaneidad no puede ser objeto de ninguna percepción posible, y que la existencia de una no podría llevar —por ningún medio de la síntesis empírica— a la de la otra. En efecto, si se imaginara que están separadas por un espacio enteramente vacío, la percepción que va de la una a la otra en el tiempo determinaría en verdad la existencia de ésta última por medio de una percepción ulterior, pero no podría distinguir si el fenómeno sigue a la primera objetivamente o si le es simultáneo.» I, Segunda parte, Primera división, Libro segundo, Capítulo II, Sección tercera, 3C: Tercera analogía. Principio de la simultaneidad según la ley de la acción recíproca o comunidad.

Agradezco la cita a Carlos Ivorra, aunque su reivindicación fuera en relación al carácter relativo de la simultaneidad, hecho popularizado por Einstein.

Aunque el ejemplo me parece fascinante, realmente no lo considero un juicio a priori, pues lo sería en la misma medida que las predicciones dadas por cualquier ley física; ley que ha sido siempre deducida a posteriori a partir de la experiencia, salvo que queramos invocar al teorema del mono infinito o la razón suficiente de Leibniz.

Es decir, en el experimento mental que nos propone Kant, hay primero una observación a posteriori de ambos fenómenos, y luego una deducción de su simultaneidad, dando lugar a una suerte de observación indirecta de lo ocurrido.

Parte II Propuesta

5 Analiticidad como deducibilidad

5.1 Introducción a la propuesta

«On the basis of his [Kant] definition, the division of judgements into analytic and synthetic is not exhaustive. What he is thinking of is the universal affirmative judgement; there, we can speak of a subject concept and ask —as his definition requires— whether the predicate concept is contained in it or not. But how can we do this, if the subject is an individual object? Or if the judgement is an existential one?

En Frege: sentido y referencia 3 ya examiné someramente este caso. En SEP The Analytic/Synthetic Distinction 1.2 ofrecen también los siguientes: «The symmetry of the marriage relation, or the transitivity of “ancestor” and “bigger than” are not obviously “contained in” the corresponding thoughts».

In these cases there can simply be no question of a subject concept in Kant's sense.

El giro de sujeto-predicado a función-argumento es otro de los logros de Frege, con antecedentes olvidados en Bolzano (Wissenschaftslehre 1837) o quizá incluso Vicente Ferrer (Tractatus de suppositionibus terminorum 1372).

» ib. V, 88

No creo que pervierta mucho a Frege si digo que amplió la definición de analiticidad de Kant a una sobre deducibilidad,

A diferencia de Frege, considero la inducción matemática una forma de deducción, ni que sea apelando a la demostración de la misma por parte de Dedekind (Zahlen, teoremas 59 y 80) o el propio Frege (1984, cf. SEP Frege’s Theorem and Foundations for Arithmetic 5). Aunque merece la pena notar que para Poincaré, quien empieza a escribir sobre filosofía de la matemática a 1894 (On the Nature of Mathematical Reasoning), es por el contrario, junto a la continuidad, una intuición a priori.

del mismo modo que Kant había ampliado antes la de Leibniz a una sobre significación en vez de contradicción.

Ampliaciones que graciosamente van alternando la naturaleza de la matemática de analítica a sintética y viceversa, siendo Quine el siguiente eslabón de la cadena.

Y en este entendido, toda la matemática, salvo sus axiomas

A diferencia de Frege, no considero a los axiomas de la lógica analíticos, ni que sea apelando a la existencia de lógicas alternativas y demás argumentos de Quine, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.1.a The Logical Primitives.

y definiciones, sería analítica;

A diferencia de Frege, no considero a la geometría distinta de la aritmética, por lo ya dicho en 4.

incluido el estudio meta-matemático de los mismos.

Sin embargo, esta perspectiva entraña un profundo problema, que se va explicitar con las siguientes tres aclaraciones, que refuerzan tácitamente el holismo de Quine:

5.2 Axioma vs definición

Realmente no hay una distinción fuerte entre ambas: los axiomas de ZF definen los conjuntos de ZF en la misma medida en que los conjuntos de ZF se definen a través de los axiomas de ZF.

Me refiero aquí a definición como noción primitiva, retomando el comentario sobre Veblen. Aunque como ya vimos allí, realmente no hay una distinción fuerte entre ambas, pues yo puedo definir las nociones primitivas de Pieri en función de las de Veblen y viceversa, por lo que en secciones siguientes no seré tan restrictivo en el uso del término. Continuaremos esta conversación en 6.2.

Y similarmente con las definiciones o axiomas de grupo, topología, etc.

A este respecto, merece la pena notar el siguiente comentario de Leibniz: «Ego semper putavi, Demonstrationem nihil aliud esse quam catenam defínitionum [...] axiomata ego non, ut ais, αναπόδεικτα, sed tamen plerumque non necessaria demonstratu esse arbitror. Demonstrabilia vero esse pro certo habeo» carta a Conring, 1678-1-3. Parafraseando, demostrar no es otra cosa que concatenar definiciones, y en ello no mantengo ningún axioma infundado, en tanto que (una definición) no necesita prueba.

También me parece muy ilustrativo que, en los Principia de Russell y Whitehead, aunque la ley del tercero excluido (que podría considerarse axioma en Aristóteles) se prueba en 2.11 (usando 2.8

⊢ p \to p

), ella ya está implícita en la definición 1.01,

p \to q : = \neg p ⋁ q

, difuminando aun más las fronteras entre axioma, definición y —más preocupantemente para nuestra propuesta de demarcación— teorema. Nuevamente, exploraremos esto con más detalle en 6.2.

Por supuesto, alguien podría contraargumentar que estas últimas entidades se definen en función de la noción de conjunto y no al revés, y utilizar este carácter derivativo como demarcación. Sin embargo, nada nos impide abstraernos de dicho sustrato conjuntistico, como hace Tarski con la geometría euclideana y la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica dada en What is elementary geometry? 1959 y A decision method for elementary algebra and geometry 1948, o como se hace en synthetic differential topology, synthetic homotopy theory, synthetic topology, etc.

En esto encontramos el segundo redflag de nuestra propuesta, ya notado en 1.4.3, y explorado con más detalle en 6.3: ¿si los axiomas de la synthetic differential topology pueden deducirse de ZF, diríamos que son analíticos o sintéticos? O en otras palabras, ¿es la deducibilidad una propiedad inherente a los juicios, o dependiente de su framework?

De hecho, tomar ZF como sustrato es algo puramente convencional,

«un sistema no es otra cosa que la subordinación de todos los aspectos del universo a uno cualquiera de ellos» Borges Tlön 1944.

como pone de manifiesto que los dos últimos ejemplos usen en su lugar —respectivamente— a la teoría de tipos y a la teoría de topos como base.

5.3 Del status de la meta-matemática

«[This book treatment of the subject is algebraic, and in it] we carry out a mathematical study of the logic used in mathematics. We do this by constructing a mathematical model of logic and applying mathematics to analyse the properties of the model. We therefore regard all our existing knowledge of mathematics as being applicable to the analysis of the model, and in particular we accept set theory as part of the meta-language. We are not attempting to construct a foundation on which all mathematics is to be based —rather, any conclusions to be drawn about the foundations of mathematics come only by analogy with the model, and are to be regarded in much the same way as the conclusions drawn from any scientific theory.» Barnes y Mack An Algebraic Introduction to Mathematical Logic 1975.

Creo que ésta es la mejor expresión que he encontrado de algo que a menudo me ha confundido: el objetivo de la lógica, tal y como se estudia actualmente en matemáticas, no es servir como su fundación, como pretendía el logicismo de Frege y Russell. Por el contrario, es una disciplina con sus propios objetivos, y en nada distinta —a ese respecto— a, e.g., la teoría de grupos.

Por supuesto, esto no significa que vayamos a abandonar la construcción de Frege de la aritmética a partir de la lógica —o, más técnicamente, la teoría de conjuntos. Sino que la vamos a mantener, no porque sea fundante, sino porque dicha reformulación ha resultado ser muy fructífera, pues nos da una nueva herramienta con la que trabajar, permitiéndonos explotar este nuevo conocimiento en otras áreas, como ponen de manifiesto las aplicaciones de la teoría descriptiva de conjuntos —que ha vivido un renacer con los trabajos en teoría de conjuntos de Martin, Steel y Woodin—

«The MartinSteel-Woodin Theorem has been without doubt the most fundamental advance in descriptive set theory since 1980» Yiannis N. Moschovakis Descriptive set theory 2009.

a: análisis funcional, teoría ergódica, álgebras de operadores, acciones de grupo...

Y en tanto que la lógica no funda la aritmética, no hay contradicción ninguna en que la segunda se use para avanzar la primera,

Y aunque la fundara, tampoco, pues podrían fregarse la espalda mutuamente de manera alternativa, siendo quien inicia la cadena quien la funda.

como pone de manifiesto la numeración de Gödel, con la que se demuestran sus teoremas de incompletitud,

Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I 1931.

así como el teorema de indefinibilidad de Tarski.

Pojęcie Prawdy w Językach Nauk Dedukcyjnych (The Concept of Truth in the Languages of the Deductive Sciences) 1933.

Y de ahí también que la definición de lenguaje formal emplee teoría de conjuntos, a pesar de que la teoría de conjuntos se expresa en un lenguaje formal: para desarrollar formalmente una teoría no necesitamos formalizar y estudiar la noción de formal, aunque hacerlo pueda mejorar nuestra comprensión de nuestra aproximación, y aportarnos luz sobre las limitaciones y fuertes de la misma.

O que usemos la lógica de manera informal (i.e., pre-formalización) para estudiar la propia lógica de manera formal, y establecer a partir de una definición de verdad (aka consecuencia semántica, dada por un modelo) y deducibilidad (aka consecuencia sintáctica, dada por un cálculo de secuentes) las diferentes técnicas demostrativas de la práctica matemática usual (e.g., la reducción al absurdo), además de otros resultados mucho más interesantes (como los de Gödel). O que podamos usar la lógica clásica para estudiar, explicar y aplicar la lógica intuicionista.

Y lo mismo con los resultados del tipo: AC es independiente de ZF, o es indecidible en ZF, o ni se puede demostrar ni refutar en ZF. Resultado que a primera vista puede parecer sintético, pues AC no contiene ZF (del mismo modo que 12 no está en 5), pero que es claramente analítico una vez explicitamos lo que significa: si ZF es consistente, entonces tanto ZF+AC como ZF+

\neg

AC son consistentes;

Gödel The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis 1938

P. J. Cohen The independence of the continuum hypothesis 1963.

algo que se deduce de la definición de ZF y AC, y de todo el ensamblaje de la teoría de modelos y de consistencia, basado a su vez en teoría de conjuntos, álgebra universal, etc.

Todos estos ejemplos retoman nuestro primer redflag: si yo deduzco formalmente lo que antes era un axioma informal (e.g., el principio del tercero excluido en lógica clásica) a partir de una nueva definición (e.g., la interpretación semántica de las sentencias lógicas en la lógica clásica), ¿puedo decir realmente que dicho axioma original es ahora analítico, cuando en la construcción de la nueva definición se ha empleado directa o indirectamente? (e.g., imponiendo que la imagen de la interpretación sea

{0, 1}

De hecho, me tienta decir que, por construcción, ambos van a ser siempre equivalentes, como ciertamente ocurre en el ejemplo dado, lo que pone de manifiesto que tampoco hay una distinción fuerte entre axioma y teorema, como examinaremos en 6.2.

Para una discusión complementaria, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.4 Convention?: «'the logical truths, being infinite in number, must be given by general conventions rather than singly; and logic is needed then in the meta-theory, in order to apply the general conventions to individual cases' [Quine 1956] [...] how could one hope to set out the general conventions for “all” or “if…then…” without using the notions of “all” and “if…then…”? [...] 'something that is true by stipulative definition can turn out to be false' [Harman Analyticity Regained 1996] [...] “the discover of America” could have been used to introduce the name “Columbus,” which might stick to it even if the discoverer turned out to be someone else (as it almost surely has done) [SEP 4.2]». Véase también la discusión de 152 en 8 y la nota final en 9.2.1.2, donde se repite este punto.

5.4 Del carácter sintético y representativo de los axiomas

Antes hemos dicho indirectamente que los axiomas (o las definiciones) de los diferentes objetos matemáticos (conjunto, grupo, topología...)

Para quien prefiera eludir el platonismo nouménico implícito (que personalmente veo más como una comodidad, en consonancia con el argumento de indispensabilidad de Quine–Putman), léase «los diferentes axiomas (o definiciones) de la matemática». Aunque esta matización no va a salvar a la expresión de su ambigüedad, explorada en la sección siguiente.

conforman los juicios sintéticos de la matemática, que podríamos pensar como descripciones de unidades significativas de la realidad, o singularizaciones de ciertas percepciones, o en términos de Kant, como unificaciones —en nuestras representaciones en la conciencia— de lo homogéneo en lo diverso a posteriori. E.g., cuando yo defino grupo, estoy describiendo la estructura común a todos los grupos, donde un grupo particular está a su vez encapsulando —desde una perspectiva específica— un cierto fenómeno: la simetría.

3Blue1Brown captura a la perfección este sentimiento en muchas de sus exposiciones.

En este entendido, los teoremas de la teoría de grupos (o cualquier otra) son afirmaciones que relacionan diferentes definiciones u objetos, de dentro y fuera de la teoría, y que se justifican mediante diferentes técnicas demostrativas,

Insisto, técnicas que en última instancia están basadas en una definición de verdad y deducibilidad —o en unos axiomas lógicos— que harán variar las dinámicas de nuestros razonamientos: ¿dan éstas lugar a una lógica paraconsistente o no?, ¿monotónica o no?, ¿plurivalente o no?, etc.

de dentro y fuera de la teoría; pues todas las teorías se nutren continua y mutuamente entre sí. O en terminología de Kant, los teoremas están contenidos en nuestra red de definiciones de dichos objetos, que conformarían una narrativa determinada de la realidad.

Por supuesto, como ya notamos con Frege, que la matemática pueda extraer sus definiciones e intuiciones de la empírea —o que se inspire en ella— no significa necesariamente que sean un buen reflejo de la misma, pues sólo es un punto de partida, y sólo toma parte de la empírea. Pero lo mismo puede decirse de los postulados, principios, etc. de la física: la ley de gravitación universal de Newton, junto con sus tres leyes de la dinámica, constituyen una representación tan legitima o ilegitima de la realidad como cualquier teoría (o red de definiciones) matemática, y desde la que puede derivarse similarmente todo un corpus teórico y explicativo de la realidad —o de una realidad, complementaría a las que representan las distintas teorías de la física y demás ciencias. La única diferencia sería entonces que «mathematics is the part of physics where experiments are cheap»,

V. I. Arnold On teaching mathematics 1998.

pues la cantidad de experimentación requerida es menor.

Y de ahí Dyson Missed opportunities 1972, Montgomery's pair correlation conjecture y Hilbert–Pólya conjecture (relativas a una conexión entre la zeta de Riemann y los estados cuánticos), la demostración del Monstrous moonshine (relativa a una conexión entre grupos y funciones modulares) vía el teorema de Goddard–Thorn de teoría de cuerdas, etc.

I.e., podemos encontrar estrechas relaciones entre matemática y física porque hablan de lo mismo, o parten ambas de un mínima empírea, o se «fundan» (a la barco de Neurath) mutuamente.

En otras palabras, en tanto que todo conocimiento es en última instancia empírico, todas las disciplinas (incluida la matemática, la filosofía, etc.) pueden sacar provecho —así como aportar— en igualdad de condiciones al resto de disciplinas del saber.

De hecho, apelando al holismo de Quine, y de manera análoga a como sucedía en 5.3, también podríamos decir que, a su vez y simultaneamente, la física es la parte de la matemática que se refiere a sus diferentes disciplinas, como el estudio del movimiento en la mecánica. Y encontrar cuales son las definiciones «fundamentales», o más densamente significativas (en el sentido de que a través de unas pocas podamos derivar de manera «natural» todo el corpus teórico de la disciplina),

Imagino que podría formalizarse la noción dentro de la teoría de la información de Shannon o la Teoría de la Información Integrada como «de alta entropía».

es precisamente el objetivo del sexto problema de Hilbert (Mathematische Probleme 1900), programa embarcado para la mecánica clásica por Georg Hamel.

Desde Über die Grundlagen der Mechanik (1909) hasta Theoretische Mechanik (1949) pasando por Die Axiome der Mechanik (1927), entre otros

6 De la contingencia de los axiomas

6.1 Introducción al problema

Que podamos obtener todas las leyes físicas y matemáticas analizando (en el sentido de Kant-Frege) sólo unas pocas (sus axiomas), pone sobre la mesa la siguiente pregunta: ¿qué pasa entonces si doy una axiomática alternativa pero equivalente que toma como axiomas lo que antes eran teoremas, o que propone nuevas leyes como axiomas a partir de las cuales deduce los axiomas originales, o que directamente no tienen nada que ver con ellos? ¿Cambia esto su estatus de analítico a sintético? Veamoslo caso por caso:

6.2 Definiciones equivalentes, y resultados y técnicas universales

En análisis real, puedo partir de distintas nociones de completitud (Cauchy, Dedekind, Weierstrass, Heine–Borel...),

Cf. J. F. Hall y T. D. Todorov, Completeness of the Leibniz Field and Rigorousness of Infinitesimal Calculus 2011.

y demostrar a partir de una de ellas que se dan todas las otras, pues son de hecho equivalentes (en el contexto de los cuerpos ordenados). ¿Diríamos entonces que son todas ellas descripciones sintéticas, y el darse cuenta de que describen lo mismo (en un cierto contexto) un juicio analítico?

Aunque no voy a entrar en ello, esto también plantea la siguiente cuestión: ¿partir de uno u otro principio daría lugar a distintos métodos, entendimientos o narrativas de la teoría, con consecuencias epistémicas?

También merece la pena insistir en que entender la analiticidad como deducibilidad erradica de ella toda cualidad de auto-evidencia: el teorema de clasificación de grupos simples es de todo menos trivial. Y lo mismo con la equivalencia entre las distintas definiciones de completitud: debemos entender muy bien la definición de Cauchy-completo, desempacando de ella toda una serie de teoremas asociados, para llegar a identificarla con el resto. Y otro tanto con Fósforo y Héspero, con la única diferencia de que el entendimiento tiene un componente más fuertemente empírico. (Para una discusión complementaria a la mía, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.2 The Paradox of Analysis)

De hecho, este ejemplo pone de manifiesto —aun más— la vaguedad de la noción de definición (o axioma), pues el teorema de Heine–Borel en

R

es lo que motiva la definición de «propiedad de Heine–Borel» para cualquier espacio topológico vectorial, que a su vez puede usarse como axioma de los números reales: ¿son entonces algunos teoremas también definiciones y axiomas? ¿Cuáles? ¿Aquellos que son equivalentes a sus premisas?

La inocencia de la pregunta encierra cierta perversión (o an ill-posed question), ya que obviamente la conclusión nunca va a ser equivalente a la totalidad de las premisas (que incluirían, e.g., los axiomas lógicos de la lógica empleada). El problema reside, pues, en determinar que parte de las premisas (implícitas o explícitas) es relevante y equivalente a la conclusión, lo que en particular exige tener muy presente que premisas (implícitas o explícitas) se utilizan en la demostración —aunque esto no sea ni de lejos suficiente, pues a menudo el recíproco debe deducirse por caminos completamente diferentes.

(la matización «implícita» no es gratuita, como ya notamos con el axioma de Pasch, o como ocurrió con el teorema de Heine–Borel mismo, que se usaba implícitamente en Dirichlet 1852 y Heine 1872 antes de su enunciación y demostración en Borel 1895, cf. Raman-Sundström A Pedagogical History of Compactness 2015).

E.g., cuando uno construye los reales mediante sucesiones de Cauchy, y demuestra entonces toda una serie de teoremas relativos a los reales, incluyendo —eventualmente— el teorema de Heine–Borel a través de los anteriores, puede no ser obvio que hay una conexión profunda entre éste y la Cauchy–completitud; una que no existe entre dichos resultados intermedios. Del mismo modo, tampoco es evidente que dicha equivalencia se da para todo cuerpo ordenado, y que la arquimedianeidad es una hipótesis prescindible.

Más aun, el hecho de que las equivalencias sólo puedan darse cuando comparten un mismo lenguaje o framework (en este caso, el de los cuerpos ordenados), pone de manifiesto que realmente no son sinónimos totales. E.g., el contexto natural de Heine–Borel son los espacios topológicos vectoriales, mientras que el de la Dedekind–MacNeille completion son los conjuntos parcialmente ordenados, siendo posible la equivalencia porque ambas estructuras o contextos colapsan en la noción de cuerpo ordenado.

¿Corresponderían así los objetos matemáticos a las definiciones matemáticas módulo equivalencias, siendo la reverse mathematics la encargada de determinarlos?

Creo que apelar a la reverse mathematics soluciona parte del problema anterior, ya que su noción de equivalencia es algo distinta, en función de la consistency strength (dando lugar cada una de ellas a un objeto diferente, que sería la totalidad de la teoría asociada a dicha consistency strength), pero no me veo capacitado para abrir esa caja.

Y en cualquier caso, no quita que, según el contexto, un mismo enunciado pueda ser un axioma o un teorema, rompiendo la demarcación propuesta inicialmente entre analítico y sintético, pues ¿que sería entonces lo analítico, en la reverse mathematics?, ¿la asignación de una consistency strength a un enunciado? (o en otras palabras, la determinación de su potencial deductivo).

O por el contrario, ¿este criterio no abriría la puerta a considerar como objetos a equivalencias triviales y no significativas?,

Este no es un problema específico de la definición modulo equivalencias, sino de encumbrar a la definición misma (o a todas por igual), aunque creo que es más palpable aquí, especialmente teniendo en cuenta la comentada no evidencia de dichas equivalencias (o de los límites de una definición), pudiendo resultar algunas más intuitivas o útiles que otras (como pone de manifiesto Jerry Bona sobre AC).

Es decir, ¿cómo determinamos que una definición (o axioma), o una formulación particular de éste, es significativo y merece la pena estudiarse? Que elevemos a las definiciones a la categoría ontológica de objeto no las hace per se valiosas, en el sentido de que diferentes objetos pueden tener diferentes valores epistémicos para distintos propósitos.

¿no son en realidad los objetos relevantes de una ciencia los determinados por la comunidad que la practica?

E.g., Frobenius no parecía muy inclinado a tomar en serio a los grupos cuando dijo: «I hope you often walk on the paths of Dedekind, but avoid the too abstract corners, which he now likes so much to visit. His newest edition contains so many beauties, §173 is highly ingenious, but his permutations are too disembodied, and it is also unnecessary to push abstraction so far.» (carta a Weber, 1893-12-23). Y el «Das ist Theologie» de Paul Gordon al teorema de la base de Hilbert (1888), o la controversia que rodeó al teorema de buena ordenación de Zermelo por su uso de AC (1904), son otros buenos ejemplos de este aspecto social.

Otro ejemplo interesante de esto puede verse en Wikipedia Derivations of the Lorentz transformations:

Aka grupo de Lorentz, que se identifica con el grupo ortonormal generalizado

O (3, 1)

. En otras palabras, dichas derivaciones lo que hacen es identificar cierta propiedad física con dicho grupo a partir de ciertos principios físicos más «fundamentales», o dotar a dicho grupo de una interpretación física.

un resultado deducido desde tantos frentes, ¿no diríamos que dice algo fundamental sobre la física,

En el mismo sentido que en 5.4, como a unidad densamente significativa.

aunque no se use como punto de partida? ¿Y no es el darle un nombre propio, o una definición, lo mismo que elevarlo a la categoría ontológica de objeto significativo? ¿Y cuándo y cómo ocurre ese encumbramiento?

Más aún, un teorema no tiene porque establecer un objeto ni un hecho per se, sino más bien una técnica demostrativa general, como en el caso de la numeración de Gödel o el forcing de Cohen, o muchos lemas matemáticos, o incluso expresiones vagas como «sin perdida de generalidad», «reordenando conveniente», etc., que no sólo no tienen un nombre propio, sino que hacen referencia a especificidades distintas en contextos distintos, aunque compartan un entendimiento común. ¿Diríamos entonces que estas técnicas demostrativas, o desarrollos analíticos, tienen en realidad una naturaleza sintética? ¿Y cómo los demarcamos?

Incluso si respondiéramos que no a la pregunta, esta nos obliga a distinguir entre nombrar, y definir axiomaticamente: siempre que hacemos lo segundo, hacemos también lo primero; pero no viceversa. Y esto es un problema, porque aunque dijéramos que el grupo de Lorentz tiene (o admite) una definición axiomática, ¿no es el distinguirlo de

O (3, 1)

, por sus connotaciones físicas, algo puramente convencional? ¿Y no ocurre a veces que nombramos cosas sin definirlas axiomáticamente, sino usando un modelo suyo?

De hecho, V. I. Arnold denuncia en On teaching mathematics 1998 la injustificada plaga de las definiciones axiomáticas en la matemática actual.

No en balde, las axiomatizaciones son (casi) siempre a posteriori, y hasta el s. XIX (y a efectos prácticos, también en la actualidad, la mayor de las veces) los matemáticos trabajaban con los racionales a la Kronecker, sin axiomas ni definiciones precisas: ¿de verdad vamos a decir entonces que los racionales no eran objetos antes,

No en el mundo de las ideas de Platón, sino en el quehacer matemático.

pero sí ahora? Para más inri, las cortaduras de Dedekind y las sucesiones de Cauchy no nacen como axiomas, ni siquiera definiciones, sino como técnicas demostrativas de la existencia de

R

, construyendo un modelo que cumple los teoremas (hoy axiomas) que se esperaban de él.

«making deliberate choices and setting them forth unaccompanied by any attempt at justification other than in terms of their elegance and convenience» Quine Carnap and Logical Truth V (1956), refiriendose a los axiomas de las distintas teorías de conjuntos, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.3 Problems with Logicism.

Incluso podemos construir distintos modelos para distintas teorías de conjuntos,

E.g., Solovay 1970, Abian y LaMacchia On the consistency and independence of some set-theoretical axioms 1978.

convencionalmente base de todo lo demás.

Y si por el contrario admitimos que el forcing no es algo meramente analítico, sino que dice algo profundo sobre el cómo se relacionan entre sí los diferentes objetos (o en otras palabras, que tanto los nodos como las aristas de nuestra red de conocimientos tienen la misma categoría epistémica), entonces lo sintético no estaría en lo axiomático,

Ora como proposición indemostrable, ora en conjunción con las nociones primitivas, ora en conjunción con su red asociada de definiciones relativas a estas (definiciones que podrían ser a su vez axiomas o teoremas relativos a otra definición de la red, pero sin llegar a cubrir todos los teoremas posibles).

sino en el acto mismo de nombrar,

Incluyendo técnicas demostrativas y construcciones de modelos de una teoría, que pueden entenderse como teoremas.

con la arbitrariedad que ello conlleva, y volviendo de nuevo a la idea de actuabilidad o agencia.

Y en este nuevo fracaso puede sentirse con renovada fuerza la observación de Quine de que las afirmaciones del tipo «el juicio

φ

es analítico» ya presuponen siempre que dicho juicio es analítico, cayendo en una petición de principio. Sospecha que se remonta a Frege y el propio Kant, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 1.2, donde lo ejemplifican así:

«someone might regularly associate bachelors with being unharried, but this wouldn’t therefore seriously be a part of the meaning of “bachelor” (“a harried bachelor” is not contradictory). But, secondly, although the denial of a genuinely analytic claim may well be a “contradiction,” it isn’t clear what makes it so: there is no explicit contradiction in the thought of a married bachelor, in the way that there is in the thought of a bachelor who is not a bachelor. “Married bachelor” has at least the same explicit logical form as “harried bachelor.” Rejecting “a married bachelor” as contradictory would seem to have no justification other than the claim that “All bachelors are unmarried” is analytic, and so cannot serve to justify or explain that claim.»

6.3 Axiomas desbancados (supersede)

Las leyes de Kepler, antes del postulado de la ley de la gravitación universal de Newton, no fueron obtenidas matemática-analíticamente a partir de dicha ley, sino a través de la empírea. Análogamente, la ley de gravitación universal de Newton puede deducirse como caso límite de la ecuación de campo de Einstein, aunque obviamente no se obtuvo originalmente de tal modo, y lo mismo con la transformación de Galileo respecto a la de Lorentz.

Y no se trata aquí de que las leyes de Kepler y de Newton sean deducibles o no (en potencia), pues para el demonio de Laplace o la razón suficiente de Leibniz siempre lo fueron, sino de si son deducidas o no (en acto). En particular, la analiticidad o no de un juicio ya no sólo sería contingente a una noción (más o menos arbitraria, social y cambiante) de definición (o del nombrar), sino que dependería también de cómo un individuo particular la ha extraído. O en otras palabras, la propiedad de un juicio de ser analítico o no, dependería no sólo del juicio en sí (y de un cierto criterio demarcativo, aun por definir sin ambigüedad), sino también del cómo se ha obtenido dicho juicio por quién lo emite.

E incluso me atrevería a decir que también depende de su formulación, apelando a como 7 + 5 = 12 parece menos analítico que 12 = 7 + 5, que a su vez lo parece menos que:

\begin{matrix} I I I I I I I + I I I I I \\ = \\ I I I I I I I I I I I I \end{matrix}

Así, aunque Newton pueda deducirse de Einstein, cuando se aplica la mecánica Newtoniana a contextos no relativistas no se hace desde el framework de Einstein (i.e., de modo analítico), sino desde el suyo propio, de modo similar a como sucede con la synthetic differential topology y similares. Y tomando un ejemplo aun más extremo, «Aristotle’s physics is the correct approximation of Newtonian physics in a particular domain, namely, the domain where we, humanity, conduct our business. This domain is formed by objects in a spherically symmetric gravitational field (that of the Earth) immersed in a fluid (air or water) and the main celestial bodies visible from Earth. [...] Aristotle’s physics is a highly nontrivial correct description of these phenomena, without mistakes, and consistent with Newtonian physics, in the same manner in which Newtonian physics is consistent with Einstein’s physics in its domain of validity.».

Rovelli Aristotle's Physics: A Physicist's Look 2015.

Y en este entendido, podríamos decir que es correcto que Kant considere a la aritmética y la geometría como sintéticas, pues carecían para él de una fundación por primeros principios desde la lógica, o que para Frege sea analítica la aritmética, pues justo construye dicha fundación. Huelga decir, por supuesto, que ésta es una respuesta del todo insatisfactoria, que pone de manifiesto la poca entidad de nuestra propuesta de analiticidad.

6.4 Axiomas alternativos, y teoría verificacionista

La relatividad y la cuántica parten de axiomas contradictorios para describir la realidad (e.g., sobre si el espacio-tiempo es continuo o discreto), existen diferentes interpretaciones (físico-ontológicas) de la (matemática de la) cuántica,

Cf. César Tomé López Incompletitud y medida en física cuántica.

se han propuesto distintas axiomáticas para la teoría cuántica de campos (AQFTs y TQFTs, respectivamente enfocadas en caracterizar los fenómenos locales y globales) y la teoría de conjuntos (ZF, la restricción KP, la extensión conservativa NBG, las extensiones propias MK y TG, las no extensiones NF y NFU, compatibilización de AC con AD debilitando el primero a DC, etc.), se han construido diferentes interpretaciones semánticas y cálculos de secuentes en lógica...

Concluyo entonces que, cuando decimos que los axiomas son sintéticos, no estamos diciendo que sean empíricos (o que hablen del mundo), pues el espacio-tiempo no puede ser a la vez continuo y discreto,

Alguien podría decir que esta contradicción se debe a que no son los axiomas definitivos, pero esto no quita que sean axiomas, en el sentido de ser juicios no deducidos que resumen o condensan un corpus teórico, o que ofrecen una cosmovisión o narrativa del mundo. No en balde, difícilmente vamos a tener nunca garantías de que una teoría dada es la correcta, como pone de manifiesto el problema de la subdeterminacion de las teorías, cf. César Tomé López La tesis de Duhem-Quine, o el overfitting, cf. Tibees Answering IQ questions as if I have 300 IQ.

o el principio del tercero excluido se da o no,

Nótese la ironía, que también aplica al punto anterior. Pero aunque cuestionables, creo que son afirmaciones medianamente razonables.

o las distintas interpretaciones de la cuántica no tienen necesariamente distintas consecuencias observacionales...

E.g., y hasta donde sé, hay cierto debate sobre los límites de lo que los experimentos tipo Bell pueden llegar a descartar.

Por el contrario, lo que decimos es que provienen (o se deducen) de la empírea,

En el sentido del Kant de 1.4.2, si se quiere. Y en este entendido, todos los juicios serían analíticos, si queremos seguir definiéndola como deducibilidad, haciendo inútil la noción.

y se desmienten (dentro de lo posible) en la empírea, lo que está muy en consonancia con el verificacionismo,

En el sentido amplio de la palabra, incluyendo el confirmacionismo de Carnap, el falsacionismo de Popper, etc.

donde «the meaning of a statement is the method of empirically confirming or infirming it. An analytic statement is that limiting case which is confirmed no matter what

El problema con esta definición alternativa de analiticidad es que es impracticable en una realidad holistica, como nota el propio Quine, pues el sujeto de mis juicios es la totalidad de la realidad.

» (Quine).

Y en esto no es distinta la matemática: alguien podría pensar que, en física y demás ciencias no formales, los fenómenos dictan a posteriori cuales son los axiomas correctos (i.e., cuales representan mejor cierta realidad empírica, indiferentemente de cómo se expresen, y de qué tomen de partida).

Cf. César Tomé Los triángulos de luz y el sintético a priori 2013-6-23.

O afirmar que la práctica de dichas disciplinas es eminentemente a posteriori, pues para poder aplicar cualquier ley suya, he de conocer primero las condiciones iniciales del sistema que quiero predecir o estudiar, para lo cual he de acudir a la experiencia.

Sin embargo, aunque dicha experiencia empírica pueda descartar los axiomas de dichas ciencias (o en otras palabras, ser inconsistentes con ellos), eso no significa que las vayamos a desechar, como refleja la buena salud de la mecánica Newtoniana. Por el contrario, las ciencias «experimentales» pueden seguir desarrollándose de manera independiente al todo de nuestras experiencias siempre y cuando las intuiciones que nos ofrezcan sigan siendo de interés para alguna realidad empírica.

Dualmente, toda teoría matemática está basada en alguna intuición empírica (de manera directa o indirecta),

De hecho, precisamente la crítica de Brouwer al tercero excluido va en dicha dirección: creemos que es cierto porque ello tiene sentido en el caso finito, donde podemos verificar todas las posibilidades, extrapolando dicha intuición. Y similarmente con AC, que es trivial para colecciones finitas.

o se refiere a alguna realidad, estado de las cosas, cosmovisión, narrativa... a través de su red de conceptos y métodos, y de ahí que dicha red varíe en el tiempo, abandonando algunos de sus nodos y aristas y encumbrando otros, como deja constancia la tercera generación (o reformulación y simplificación) de la demostración del teorema de clasificación de grupos simples.

Aschbacher The Status of the Classification of the Finite Simple Groups 2004.

O que la teoría de los incomensurables de Euclides (libro X, donde los particiona en 13) no sólo haya quedado obsoleta, sino que hoy hasta se nos antoje ridícula.

«The student who approaches Euclid's Book X in the hope that its length and obscurity conceal mathematical treasures is likely to be disappointed. As we have seen, the mathematical ideas are few and capable of far more perspicuous exposition than is given them here. The true merit of Book X, and I believe it is no small one, lies in its being a unique specimen of a fully elaborated deductive system of the sort that the ancient philosophies of mathematics consistently prized. It constitutes the results of a detailed academic exercise to codify the forms of the solutions of a specific geometric problem and to demonstrate a basic set of properties of the lines determined in these solutions. One can thus profitably study Book X to learn how its author sought to convert a body of geometric findings into a system of mathematical knowledge.» Wilbur Knorr “La croix des mathématiciens”: The Euclidean theory of irrational lines 1983.

7 Un último intento (Preludio a Hegel)

7.1 Analiticidad y falsedad

Si aun con todo siguiéramos manteniendo nuestra definición de analiticidad como deducción (que ya no deducibilidad) dentro de un framework, y defendiendo que todos los juicios son, convenientemente formulados, analíticos (pues se deducen de la realidad), aun tendríamos que responder a la siguiente pregunta: ¿Significa esto que hay juicios analíticos falsos, o más bien todos los juicios son ciertos?

Aunque parece evidente que lo segundo es imposible, pues nos consta que hay leyes físicas que se han demostrado erróneas, también podríamos refrasear esto de la manera siguiente: el error no está en la ley, sino en atribuir la ley al contexto equivocado.

Por supuesto, esto no quita que dicha atribución sería falsa, y sería un juicio, por lo que nos obligaría a dar un criterio de demarcación entre juicios de atribución y de comprobación-de-atribucción, lo que parecen simplemente otros nombres para analítico y sintético respectivamente.

E.g., y volviendo sobre 2, no es que las leyes de Newton sean una descripción errónea de la realidad, sino que sólo aplican al sujeto «mundo macroscopico no relativista», pero no a «mundo». Ahora bien, mi ejemplo puede parecer tramposo, pues la mecánica Newtoniana sigue aceptándose y utilizándose, y puede derivarse de la de Einstein.

Un ejemplo quizá más interesante es el de la teoría completamente desterrada del flogisto. Sin embargo, Hegel podría decir que el flogisto es sólo otra manera de llamar a la energía química interna de los combustibles, y que la liberación del flogisto en la combustión es simplemente la rotura de dichos enlaces químicos del combustible. En particular, las limitaciones de la teoría sólo son limitaciones en la explicitación del sujeto, del que sólo hemos dado un recuento parcial (o en exceso) de sus predicados, y que no se corresponden por ende al sujeto que en verdad queríamos señalar. Y similarmente con César Tomé, Del modelo imponderable a la hipótesis cuántica (2013-10-29).

Así, cuanto menos explicite una teoría su sujeto (o en términos de Popper, cuanto menos se arriesgue), o cuanto menos precisa sea en su señalamiento, más divergirán sus predicciones de las observaciones de dicho sujeto, o las explicarán con mayor vaguedad. E.g., si no especificamos la curvatura de nuestro espacio, la noción de triangulo deviene muy difusa (pues ni siquiera conocería la suma de sus ángulos), y podríamos decir casi cualquier cosa sobre ellos; y si no nos limitamos a los conjuntos medibles, podemos llegar a teoremas contraintuitivos como el de Banach-Tarski (1924).

Sujeto que no tiene porque ser real, pues yo podría llenar de detalles mundos en los que los hobbits existen, como sucede en el universo de Tolkien, o alternativas suyas inconsistentes con ella. Y lo mismo con el flogisto: si bien puede reentenderse (quizá algo forzadamente) parte de su teoría en términos de química moderna, también hay mucha otra que no, como sus hipótesis aristotélicas de partida. Pero esto no los hace menos reales, sino sólo pertenecientes a otras realidades, o a otros aspectos de la Realidad, pues una enciclopedia sobre el universo de Tolkien sigue siendo una fuente de conocimiento.

La cuestión, claro está, es que aun bajo este enfoque de aire instrumentalista, según el cual una teoría es incorrecta simplemente si habla de otra realidad (i.e., de otro sujeto distinto al indicado), hemos de seguir admitiendo que no hemos avanzado nada con ello, pues no podemos verificar dicha atribución, como pone de manifiesto el problema de la subdeterminación de teorías de Duhem–Quine.

7.2 El demonio de Laplace

Antes de renunciar definitivamente a nuestra noción de analiticidad como deducción, vamos a darle una última oportunidad, admitiendo el antes criticado «the question here is not one of the history of our discoveries, which is different in different men, but of the connexion and natural order of truths, which is always the same» de Leibniz, para ver si podemos salvar así el abismo de contingencia que hemos abierto.

En otras palabras, vamos a tratar de universalizarlo, apelando no a la deducción de una persona particular, sino de todas, por analogía al imperativo categórico.

Supongamos, pues, que por el principio de razón suficiente, podemos explicarlo todo a partir de unos axiomas. O que, por el demonio de Laplace, observando un instante del universo, puedo conocer todo su pasado y futuro. Dicha observación y dichos axiomas serían nuestro sintético.

Así, todas las críticas que antes podíamos hacer se desvanecen: las representaciones de la realidad de dicho demonio son fieles a la misma, y conoce la ontología del universo y sus constantes incluso si no tienen consecuencias observacionales (como, quizá, las cuerdas de la teoría M).

Sin embargo, la naturaleza de semejante omnisciencia pone de manifiesto que el demonio sólo está leyendo al sujeto Realidad sin ningún orden preestablecido, y que todas las leyes, constantes, axiomas, hechos, causas y efectos, etc. son de la misma clase (independientemente de que sean particulares o universales, anteriores o posteriores, etc.), y que afirmar que unas son más fundantes que otras es sólo un arbitrio ulterior, como venimos discutiendo con Tlön, la reverse mathematics, SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.4 Convention?, etc.

De hecho, incluso podría decirse que se cae en ese arbitrio no sólo al reorganizar axiomaticamente los conocimiento sobre la Realidad bajo un cierto criterio convenido, sino incluso al emitir los conocimientos mismos, pues su enunciación o formulación depende a su vez de un sistema o lenguaje (el de la biología molecular, el del análisis funcional, el de NF, etc.),

Cf. Philip Warren Anderson More is Different 1972 y César Tomé López La tesis Duhem-Quine (II): El tribunal de la experiencia.

reduciéndolo al mismo, pues «Los límites de mi lenguaje significan los límites de mi mundo».

Wittgenstein Tractatus 5.6.

En este entendido, todos los juicios dicen algo tanto del demonio (en su forma) como de la Realidad (en su contenido), y no dirían nunca nada genuinamente nuevo al demonio sobre los fenómenos, pues simplemente explicitarían (bajo cierta cosmovisión) los predicados ya contenidos en los fenómenos mismos, parafraseando a Hegel.

Si acaso, le diría al demonio algo nuevo sobre sí mismo, o sobre sí en relación al fenómeno, en tanto que lo vuelve a enunciar bajo un nuevo paradigma: cuando decimos que el demonio lee la Realidad, lo que estamos diciendo es que repiensa los contenidos de su mente referidos a la Realidad, o más específicamente, a la realidad (sujeto) referida en su enunciación (que puede ser de naturaleza ficticia, no física, etc.), volviendo al movimiento aun más tautológico.

Y en esto sólo se distingue de nosotros en que el demonio tiene la garantía de que sus predicaciones se refieren al sujeto al que las atribuye, siendo dicha comprobación o juicio el único verdaderamente sintético, y que hemos dado por supuesto. Pues todos los demás juicios, tanto suyos como nuestros, no son más que especulaciones o análisis sobre una copia (perfecta o no según el caso) de la realidad sobre la que predicamos, pues es obvio que no podemos hablar sobre nada que no esté ya en nuestra mente, y que si admitimos la existencia de una realidad extramental, nuestros juicios nunca van a referirse a ella, sino a la copia que nos hacemos de ella.

Una copia que está, como hemos dicho, tan fuertemente entrelazada con nuestro lenguaje, y nuestra forma de experimentarla, que deviene en última instancia indistinguible de nosotros mismos, y de la historia, cultura, genética, etc. que nos ha criado y constituido. En efecto, si sólo hay una verdad no trivial, que a su vez deviene criterio de demarcación, y dicha verdad es la determinación del sujeto de todos mis juicios y mi experiencia, entonces yo afirmo que yo soy dicho sujeto: yo soy la totalidad de mi realidad, y no hay ningún noúmeno externo del que hablar.

7.3 Analiticidad y vacuidad

Aunque ya tratamos esto en 3.2.1, merece la pena notar que mucha de la confusión al respecto viene de querer añadir demasiados predicados al ambiguo sujeto «juicio analítico», y que en verdad sus distintas formulaciones no son equivalentes.

E.g., «“Bachelors are unmarried or the moon is blue” is a logical consequence of “Bachelors are unmarried”—its denial contradicts the latter [...]—but clearly nothing about the color of the moon is remotely “contained in” the concept bachelor.» SEP The Analytic/Synthetic Distinction 1.1, citando un ejemplo de Katz (1988).

Y en este entendido, sería recomendable abandonar esa noción, en pos, si acaso, de otras subclasificaciones tradicionalmente asociadas a ella:

De hecho, podría decirse que esto es lo que hace Kant al desligar lo analítico del Principio de Contradicción, o lo que hace Frege al desligarlo del sujeto, aunque no llegan a dar el paso de abandonar la noción.

grado de aprioricidad (¿cuánta experiencia requieren?), grado de empiricidad (¿cuánta de dicha experiencia es empírica?),

No voy a entrar a clasificar los distintos tipos posibles de experiencias, pero la idea sería dar un grado a todas.

grado de interrelación (¿cuánta de la información depende de otras disciplinas, y cuán alejadas están?), nivel de entropía (¿cuánta información nueva contienen?), etc.

Y con esto presente, vemos que explicitar enumeradamente las características del mundo (no las intrínsecas a él, que son inaccesibles, sino las que le atribuye una cierta narrativa; o a un mejor, una colección de ellas), por tautologico que sea (en tanto que re-enunciación de sí mismo, en el sentido ya expuesto), me permite ganar un mayor entendimiento de lo que el mundo en el que vivo es, y de lo que no es, delineando así la silueta de mi sujeto. Pues en el acto de pensarme y experimentarme, también me expando.

Más aun, esto es a cuanto puedo aspirar: a una consistencia entre mí, y ese otro dentro de mí, que sólo puedo conocer a través de su análisis (mental y extramental) desde mí.

Un lejano eco de esto puede verse en SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.6 Quine on Meaning in Linguistics: «In his (1960, 1973) he sketches a behavioristic theory of language that doesn’t rely on the postulation of determinate meaning or reference. He argues that translation (i.e., the identification of two expressions from different languages as having the same meaning) is “indeterminate”; there is “no fact of the matter” about whether two expressions do or do not have the same meaning (see Indeterminacy of Translation). This would appear to imply that there are pretty much no facts of the matter about people’s mental lives at all! For, if there is no fact of the matter about whether two people mean the same thing by their words, then there is no fact of the matter about whether they ever have mental states with the same content; and consequently no fact of the matter about the content of anyone’s thoughts.»

«the ideas I had about supernatural beings

came to me the same way

my mathematical ideas did»

John Nash (Nasar A Beautiful Mind 1998)

Parte III Cierre

8 Hegel, y el reino de las leyes

«150. This realm of laws is indeed the truth for the Understanding, and that truth has its content in the law. At the same time, however, this realm is only the initial truth for the Understanding and does not fill out the world of appearance. In this the law is present, but is not the entire presence of appearance; with every change of circumstance the law has a different actuality. Thus appearance retains for itself an aspect which is not in the inner world;

En otras palabras, las leyes son afirmaciones sintéticas (i.e., con contenido semántico sobre la realidad) que funcionan como axiomas (i.e., como verdades iniciales a partir de las cuales se derivan el resto), pero que no llegan a capturar en sí sus ramificaciones (i.e., sus diferentes actuality, apariencias, instancias o derivaciones; las manifestaciones en acto de esa ley de potencias, o formas en las que las cosas pueden ser en acto). En particular, no podemos tildar de meramente analíticas a éstas, pues retienen para sí aspectos no encapsulados en los axiomas.

[...]

Omito su aclaración, que me parece más bien confusa.

This defect in the law must equally be made manifest in the law itself. [...]

Omito el comentario porque va referido específicamente a la ley encontrada en 148.

in so far as it is not law in general, but a law, it does contain determinateness; consequently, there are indefinitely many laws. But this plurality is itself rather a defect; for it contradicts the principle of the Understanding for which, as consciousness of the simple inner world, the True is the implicitly universal unity. It must therefore let the many laws collapse into one law, just as, e.g., the law by which a stone fall's, and the law by which the heavenly bodies move, have been grasped as one law.

Los intentos de axiomatizar la QFT o, más en general, de condensar los distintos resultados de un cuerpo de conocimiento en unos pocos principios unificadores, son una ejemplificación de esto mismo. En terminología de Villiers The Role and Function of Proof in Mathematics 1990, responden a la necesidad de sistematizar (2.3), no de explicar (2.2), que es justo lo que pasa a criticar Hegel a continuación. Y en cualquier caso, son una construcción a posteriori, un cuento para organizar nuestros conocimientos concretos de una manera más eficiente o pragmática, cual mera mnemotecnia.

But when the laws thus coincide, they lose their specific character. The law becomes more and more superficial, and as a result what is found is, in fact, not the unity of these specific laws, but a law which leaves out their specific character; just as the one law which combines in itself the laws of falling terrestrial bodies and of the motions of the heavenly bodies, in fact expresses neither law. The unification of all laws in universal attraction expresses no other content than just the mere Notion of law itself,

Aunque comulgo con el sentimiento, no sé si su ejemplo es el más claro, ya que creo que Newton captura razonablemente bien ambos fenómenos en su Ley de Gravitación Universal. En mi opinión, la denuncia en V. I. Arnold ib. es mucho más ilustrativa de esto, así como las technicality de ciertas definiciones y demostraciones matemáticas, que pueden llegar a ser bastante artificiosas para hacer que todo cuadre (e.g., demostración por casos del teorema de Carleson 1966 o el teorema de los cuatro colores).

[...]

Omito su aclaración, que me parece más bien confusa.

The Understanding imagines that in this unification it has found a universal law which expresses universal reality as such; but in fact it has only found the Notion of law itself,

O en términos de Kuhn, un paradigma, que no habla de la realidad, sino de una cierta cosmovisión, comprendida por las prácticas y saberes de la disciplina científica que enuncia la correspondiente ley.

although in such a way that what it is saying is that all reality is in its own self, conformable to law.

Aunque técnicamente se puede enunciar una ley sin caer en ese reduccionismo (entendiéndola simplemente como a una narrativa más, con un campo de acción particular), la precaución no está de más. Especialmente teniendo en cuenta el sesgo cognitivo–lingüístico que denuncia a continuación.

The expression, universal attraction, is of great importance in so far as it is directed against the thoughtless way in which everything is pictured as contingent, and for which determinateness has the form of sensuous independence.

Otro ejemplo de esto puede verse en los nombres de los sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales, complejos.

151. [...]

En adelante, omito los fragmentos por su verbosidad.

In so far as this pure Notion is looked on as the essence, or the true inner being, the determinateness of the specific law itself still belongs to appearance, or rather to sensuous being.

I.e., si asumimos el realismo científico, volvemos a caer en los engaños del mundo sensible que pretendíamos eludir en un primer momento con la edificación de la ciencia. E.g., al reconstruir computacionalmente la imagen de un lápiz sumergido en un vaso de agua según la ley de la difracción de la luz, en donde puede engañarme el dato inicial, los cálculos sobre éste, y la ley que la dicta. O cuando observo una muestra bajo un microscopio (SEM, AFM...), no sólo me estoy fiando de mis sentidos, sino también de la tecnología utilizada y de la ciencia en la que se basa. Hegel es más explícito en el comentario siguiente.

Complementariamente, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.1.b The Non-Logical Primitives: «Ordinary “observations” can be seen to be shot through with conceptual presuppositions: observing a meter reading “7 amps” requires conceptualizing some object as a meter, the marks on it as numerals as indicating numbers and/or magnitudes of amperage; observing someone kick a cat requires conceptualizing a bodily motion as an intentional act; and even observing the sky to be blue requires the peculiar concept of the sky. Trying to divest such ordinary observations of all of their conceptual baggage and reporting experience as it seems in and of itself would seem to require at least the trained eye of a Monet and the nuanced mind of a Proust, and it’s difficult to see why such special and sophisticated reports should be particularly privileged.»

[...] The determinateness of which we spoke is itself really only a vanishing moment which can no longer occur here as something essential, for here it is only the law that is the True;

En otras palabras, los datos con los que alimentamos una ecuación física, son datos de un instante pasajero; y lo mismo con sus resultados. Lo único eterno o verdadero es la ley, o la relación (diferencia) entre dichos datos. Hegel es aun más explícito en el comentario siguiente.

[...] in the law the difference itself is grasped immediately and taken up into the universal, thereby, however, giving the moments whose relation is expressed by the law a subsistence in the form of indifferent and (merely) implicit essentialities.

Nuevamente, y como comentamos al inicio de 150, en esto hay una ocultación de la realidad actual, reflejando la ley sólo las relaciones, que no son del mundo per se, sino de nuestras narrativas del mundo.

But these parts of the difference present in the law are at the same time themselves determinate sides; the pure Notion of law as universal attraction must, to get its true meaning, be grasped in such a way that in it, as what is absolutely simple or unitary, the differences present in law as such themselves return again into the inner world as a simple unity. This unity is the inner necessity of the law.

Vuelta a lo mismo: las variables de una ecuación son sólo determinaciones del mundo describiéndolo, pero no una explicación del mundo. ¿Por qué se dan (necesariamente) dichas relaciones? Necesitamos una ley para la ley, si queremos mantener el realismo científico, o que la ciencia es una narrativa con mayor legitimidad a la hora de explicar el mundo, o que no es meramente una descripción particular de cierto aspecto del mundo.

Aunque el ejemplo no viene a cuento, su manera de exponer el problema me recuerda a cómo las 20 ecuaciones originales de Maxwell son reducidas a cuatro en su formulación estándar, o a una sóla en álgebra geométrica (STA, vía el vector de Riemann–Silberstein), ofreciendo una interpretación que no involucra las determinaciones de cargas ni corrientes.

152. The law is thereby present in a twofold manner: once, as law in which the differences are expressed as independent moments; and also in the form of a simple withdrawal in to itself which again can be called Force, but in the sense not of a Force that is driven back in to itself, but Force as such, or the Notion of Force, an abstraction which absorbs the differences themselves of what attracts and what is attracted.

Mantengo el pasaje porque es la terminología que va a pasar a usar a continuación, pero básicamente se está repitiendo.

[...]

Lo ejemplifica con la fuerza eléctrica, caracterizada por ley de Coulomb (1777), que es completamente análoga a la ley de gravitación universal de Newton, como nota el propio Hegel, a pesar de que en la segunda no se hable de polos.

It is true that this property [la ley de Coulomb] is the essential and sole property of this Force [la eléctrica], or that it belongs to it necessarily. But necessity here is an empty word; Force must, just because it must, [...] Electricity, as simple Force, is indifferent to its law —to be positive and negative; and if we call the former its Notion but the latter its being, then its Notion is indifferent to its being. It merely has this property, which just means that this property is not in itself necessary to it. This indifference is given another form when it is said that to be positive and negative belongs to the definition of electricity, and that this is simply its Notion and essence. In that case, its being would simply mean its actual existence. But that definition does not contain the necessity of its existence;

Vuelta a lo mismo: nuestras leyes son descripciones que atribuimos al mundo, pero que son esencialmente ajenas al mundo; i.e., no son leyes que el mundo, como sujeto, obedezca, sino heurísticas nuestras creadas para poder hablarlo y trabajarlo. Y de ahí que se rompan, como ponen de manifiesto las revoluciones científicas, del mismo modo que el perfil psicológico que pueda hacerse de una persona no la ata a comportarse sólo dentro de los límites de dicho perfil; incluso cuando yo me describo o defino a mí mismo y mis principios y objetivos, dicha atribución no es una ley que me gobierne, sino una aproximación más a mi persona, tan contingente y falible como cualquier otra.

it exists, either because we find it, i.e. its existence is not necessary at all,

Más que encontrar, yo diría crear, aunque supongo que hay un juego a medio camino entre ambas, del mismo modo que yo puedo decir «encontré la inspiración» para hablar de la creación de un poema, o «no encontré las palabras» cuando no fui capaz de crear una expresión que reflejara cómo me sentía. Y en cualquier caso, sigue siendo cierto que no podemos saltar de ese hallazgo a una proclamación de necesidad; aunque tampoco podemos probar que no haya tal necesidad.

or else it exists through, or by means of, other Forces, i.e. its necessity is an external necessity.

E.g., al redefinir la unidad del Kg en términos de voltaje.

But, in basing this necessity on the determinateness of being through another, we relapse again into the plurality of specific laws which we have just left behind in order to consider law as law. It is only with law as law that we are to compare its Notion as Notion, or its necessity. But in all these forms, necessity has shown itself to be only an empty word.

153. [...]

Resumiendo, introduce un tercer ejemplo a los de la gravedad y la electricidad: el del movimiento, y su división en espacio y tiempo, que son indiferentes entre sí (al menos en Newton), y que no están en el movimiento en sí (lo que me parece más cuestionable, por la propia definición de movimiento; y si bien Hegel crítica mi «por la propia definición de movimiento», tampoco ofrece una concepción alternativa de la noción de movimiento, que en cualquier caso podemos crear como nos dé la gana, o como nos sea más práctico).

154. [...]

Omito su extensa recapitulación.

It is, therefore, only its own necessity that is asserted by the Understanding; [...] This necessity, which is merely verbal, is thus a recital of the moments constituting the cycle of the necessity, [...] This process is called 'explanation'. A law is enunciated; from this, its implicitly universal element or ground is distinguished as Force; but it is said that this difference is no difference, rather that the ground is constituted exactly the same as the law.

Esto puede leerse en ambas direcciones (como el mismo Hegel nota en el fragmento omitido al final): se atribuye a la ley un sustrato ontológico (e.g., una fuerza), y se describe a dicha fuerza únicamente por medio de dicha ley. En otras palabras, hay al mismo tiempo una ficcionalización del mundo y un reduccionismo del mundo a dicha ficcionalización. O en términos más coloquiales, «el gato es mío, y me lo follo cuando quiero» (Cálico Electrónico, Huérfanos electrónicos, Ep. 6, escena final, 2007; aunque he encontrado referencias anteriores en publispain 2006).

The single occurrence of lightning, e.g., is apprehended as a universal, and this universal is enunciated as the law of electricity; the 'explanation' then condenses the law into Force as the essence of the law. [...]

155. In this tautological movement, the Understanding, as we have seen, sticks to the inert unity of its object, and the movement falls only within the Understanding itself, not within the object. It is an explanation that not only explains nothing, but is so plain that, while it pretends to say something different from what has already been said, really says nothing at all but only repeats the same thing. In the Thing itself this movement gives rise to nothing new; it comes into consideration (only) as a movement of the Understanding.» Hegel Phenomenology of Spirit A.III, 1807.

A pesar de que en 150 insinuamos que todos los juicios eran sintéticos, este último comentario ofrece otra posible interpretación: todos los juicios (sobre la realidad) son esencialmente analíticos, descripciones de los fenómenos que no aportan, añaden o explican nada nuevo a nuestro entendimiento de los mismos. I.e., son leyes vacías que simplemente me dicen lo mismo con otras palabras: el fuego como combustión, la luz como onda electromagnética, el cobre como átomos de 29 protones, etc.

«if Quine (1960) is right about the psychology of language use, then there may be no sufficiently local explanatorily basic facts on which all other uses of a term depend. To take the kind of case that most interested Quine, it certainly seems unlikely that there is some small set of uses of at least theoretic terms in science, say “electron” or “mass,” that are explanatorily basic, on which all other uses really asymmetrically depend: again, revision may touch any particular claim in the interests of overall explanatory adequacy.» SEP The Analytic/Synthetic Distinction 4.3 Explanatory Strategies.

9 Quine, y el fracaso de la analiticidad como sinonimia

9.1 Postulado

«[Kant's definition intent can be restated as:] a statement is analytic when it is true by virtue of meanings and independently of fact.

[...] Once the theory of meaning is sharply separated from the theory of reference [gracias a Frege y Russell], it is a short step to recognizing as the business of the theory of meaning simply the synonymy of linguistic forms and the analyticity of statements; meanings themselves, as obscure intermediary entities [de las referencias], may well be abandoned».

Es decir, si cocientamos las palabras por la relación de equivalencia de sinonimia, tenemos que: para entender una palabra me basta saber a que clase de equivalencia pertenece, y a qué cosa hace ésta referencia.

Este primer paso es fundamental, pues «In recent years Carnap has tended to explain analyticity by appeal to what he calls state-descriptions. A state-description is any exhaustive assignment of truth values to the atomic, or noncompound, statements of the language.

Aka interpretación del modelo.

All other statements of the language are, Carnap assumes, built up of their component clauses by means of the familiar logical devices, in such a way that the truth value of any complex statement is fixed for each state-description by specifiable logical laws.

Por recursión sobre los términos y variables del lenguaje formal utilizado. (Problema aparte es la existencia o no de un lenguaje que pueda expresar la totalidad de la realidad, como critica el segundo Wittgenstein al primero).

A statement is then explained as analytic when it comes out true under every state-description. This account is an adaptation of Leibniz's "true in all possible worlds." But note that this version of analyticity serves its purpose only if the atomic statements of the language are, unlike 'John is a bachelor' and 'John is married,' mutually independent. Otherwise there would be a state-description which assigned truth to 'John is a bachelor' and to 'John is married,' and consequently 'All bachelors are married' would turn out synthetic rather than analytic under the proposed criterion [pues no es cierta en todas las valuaciones]. Thus the criterion of analyticity in terms of state-descriptions serves only for languages devoid of extralogical synonym-pairs, [...and] is a reconstruction at best of logical truth.».

Una solución alternativa a trabajar con lenguajes sin sinónimos —o más técnicamente, con sentencias no independientes— sería abandonar la condición «true in all possible worlds»: algo es analítico si, para un state-description dado, es derivado lógicamente a partir de sus sentencias lógicas. Sin embargo, como ya hemos notado, esto hace la analiticidad contingente al state-description: los axiomas dados por el state-description de la mecánica Newtoniana pueden pensarse como sintéticos, pero son derivados como analíticos en el state-description de la relatividad de Einstein.

Para otra instancia de la importancia de este primer paso, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 1.2, ya notado anteriormente.

No obstante, continua en II, «The lexicographer is an empirical scientist, whose business is the recording of antecedent facts;

[...] Definition is not, indeed, an activity exclusively of philologists. Philosophers and scientists frequently have occasions to "define" a recondite term by paraphrasing it into terms of a more familiar vocabulary. But ordinarily such a definition, like the philologist's, is pure lexicography, affirming a relationship of synonymy antecedent to the exposition in hand. [...and] they are grounded in usage.

[...] But even [Carnap's] explication, though not merely reporting a pre-existing synonymy between definiendum and definiens, does rest nevertheless on other pre-existing synonymies. The matter may be viewed as follows. Any word worth explicating has some contexts which, as wholes, are clear and precise enough to be useful; and the purpose of explication is to preserve the usage of these favored contexts while sharpening the usage of other contexts. In order that a given definition be suitable for purposes of explication, therefore, what is required is not that the definiendum in its antecedent usage be synonymous with the definiens, but just that each of these favored contexts of the definiendum taken as a whole in its antecedent usage, be synonymous with the corresponding context of the definiens.

Two alternative definientia may be equally appropriate for the purposes of a given task of explication and yet not be synonymous with each other; for they may serve interchangeably within the favored contexts but diverge elsewhere. By cleaving to one of these definientia rather than the other, a definition of explicative kind generates, by fiat, a relationship of synonymy between definiendum and definiens which did not hold before. But such a definition still owes its explicative function, as seen, to pre-existing synonymies.»

En mi opinión, este último punto (que recuerda fuertemente al segundo Wittgenstein, que no sería oficialmente publicado hasta 1953) ya captura la esencia de IV, por lo que omitiré su discusión; a mi entender, su inclusión sólo pretende explicitar que las aproximaciones de Carnap al problema no lo resuelven, que imagino debía ser un tema candente aun en la época.

Persistente con este enfoque, continua en III, «A natural suggestion, deserving close examination, is that the synonymy of two linguistic forms consists simply in their interchangeability in all contexts without change of truth value [i.e., salva veritate];

[...] But [...] Truths which become false under substitution of 'unmarried man' for 'bachelor' are easily constructed with help of 'bachelor of arts' or 'bachelor's buttons.' Also with help of quotation, thus: 'Bachelor' has less than ten letters. Such counterinstances can, however, perhaps be set aside by treating the phrases 'bachelor of arts' and 'bachelor's buttons' and the quotation "bachelor" each as a single indivisible word and then stipulating that the interchangeability salva veritate which is to be the touchstone of synonymy is not supposed to apply to fragmentary occurrences inside of a word. This account of synonymy, supposing it acceptable on other counts, has indeed the drawback of appealing to a prior conception of "word" which can be counted on to present difficulties of formulation in its turn.»

Pero aun poniendo de lado este problema para más tarde, «Interchangeability salva veritate is meaningless until relativized to a language whose extent is specified in relevant respects.

Omito su justificación, aunque creo que es una afirmación bastante intuitiva.

[and] There is no assurance here that the extensional agreement of 'bachelor' and 'unmarried man' rests on meaning rather than merely on accidental matters of fact, as does extensional agreement of 'creature with a heart' and 'creature with a kidney.'»

Es decir, aunque se cumpla que

\forall x (P x \leftrightarrow Q x)

(i.e., que

P, Q

agree extensionally), y por ende

P, Q

sean intercambiables salva veritate (por definición de lenguaje extensional), esto no las convierte en «sinónimos cognitivos», pues puede ser que dicha equivalencia se de por casualidad, y que

P, Q

no tengan el mismo significado.

Así, Quine cierra la sección III con: «The effort to explain cognitive synonymy first, for the sake of deriving analyticity from it afterward as in Section I, is perhaps the wrong approach. Instead we might try explaining analyticity somehow without appeal to cognitive synonymy. Afterward we could doubtless derive cognitive synonymy from analyticity satisfactorily enough if desired.»

9.2 Consecuencias

9.2.1 Holismo

9.2.1.1 Postulado

Incansable, Quine discute en V la alternativa verificacionista, pero ante la imposibilidad de aislar los fenómenos (ni a nivel de términos, ni de sentencias), cierra la sección con su propuesta holista:

La cual, personalmente, me recuerda mucho a como Popper delega el problema de la inducción al de la demarcación: no debemos preocuparnos por los elementos constituyentes de nuestros conocimientos (e.g., los razonamientos por inducción y demás métodos de investigación), sino por la red de interrelaciones entre ellos. Otra cosa es que esto suponga un reto aun más grande que el anterior, ni que sea por explicitar las consecuencias de la fragilidad de su base; explicitación que resulta mucho más reveladora que mantenernos estáticos en el problema original.

«Taken collectively, science has its double dependence upon language and experience; [...] what I am now urging is that even in taking the statement [instead of the term, as Frege critized to Locke] as unit we have drawn our grid too finely. The unit of empirical significance is the whole of science.»

Esto se elabora más detalladamente en la sección final VI, que abre con una preciosa metáfora: «total science is like a field of force whose boundary conditions are experience. A conflict with experience at the periphery occasions readjustments in the interior of the field. Truth values have to be redistributed over some of our statements. Re-evaluation of some statements entails re-evaluation of others, because of their logical interconnections

[...] Even a statement very close to the periphery can be held true in the face of recalcitrant experience by pleading hallucination or by amending certain statements of the kind called logical laws. Conversely, by the same token, no statement is immune to revision. Revision even of the logical law of the excluded middle has been proposed as a means of simplifying quantum mechanics; and what difference is there in principle between such a shift and the shift whereby Kepler superseded Ptolemy, or Einstein Newton, or Darwin Aristotle?»

En resumen, no podemos fundar lo sintético en lo analítico, ni las ciencias experimentales en las formales,

Para más detalles sobre tal proyecto, cf. SEP The Analytic/Synthetic Distinction 2. High Hopes.

sino que debemos aproximarnos al mundo holisticamente.

«We are like sailors who on the open sea must reconstruct their ship but are never able to start afresh from the bottom. Where a beam is taken away a new one must at once be put there, and for this the rest of the ship is used as support. In this way, by using the old beams and driftwood the ship can be shaped entirely anew, but only by gradual reconstruction» Neurath Anti-Spengler 1921
10
El símil aparece por primera vez en Neurath Problems in War Economics 1913, en contraposición al fundacionalismo de Descartes. Popularizando en Quine Word and Object 1960.

9.2.1.2 Ejemplo

No podemos estudiar la etología de los tiburones sin tener en cuenta la teoría de la evolución y, por ende, tanto la biología y paleontología del tiburón, como la química y física de su medio, y los cambios ecológicos, geológicos, climáticos, etc. en el tiempo, además de los presupuestos de los modelos matemáticos, físicos, etc. usados para dichas reconstrucciones, preguntándonos siempre si siguen aplicando en mi investigación particular, o por el contrario necesito otros.

Pero también necesitamos factorizar los aspectos de la psicología y sociología humana y de la ciencia: ¿estamos antropomorfizando al tiburón? Y en tal caso, ¿estamos proyectando nuestros sesgos sobre humanos en él?

Cf. Florence Schechter Queer By Nature, Vaults, 20 Feb 2019

¿Hay un conflicto de intereses personal, en financiación, etc.? ¿Estoy conformando (moldeando) mi investigación al paradigma científico dominante, descartando o explicando ad hoc evidencias disconformatorias?

Cf. César Tomé López El Rey León, la falsabilidad y los cuasicristales 2014.

Incluso debemos tener precaución con los elementos lingüísticos, ontológicos, metafísicos, etc. de nuestra investigación, pues la manera de enfocar mi estudio, de expresarlo, etc. también pueden afectarlo.

Así, al hacer una afirmación sobre la etología de los tiburones, estoy haciendo una serie de afirmaciones sobre todo el cuerpo del conocimiento humano a través de mí, que siempre va a tener fuertes elementos empíricos (incluso si mi investigación se enmarca en el programa de Langlands), y que debo procurar que no se desajusten entre sí.

SEP The Analytic/Synthetic Distinction 3.5 Problems with Verificationism ofrece un ejemplo alternativo: «a thermometer will be a good indication of ambient temperature only if it’s made of the right materials, calibrated appropriately, and there aren’t any other forces at work that might disturb the measurement—and, of course, only if the background laws of physics and other beliefs that have informed the design of the measurement are in fact sufficiently correct. A failure of the thermometer to measure the temperature could be due to a failure of any of these other conditions, which is, of course, why experimenters spend so much time and money constructing experiments to “control” for them. Moreover, with a small change in our theories or background beliefs, or just in our understanding of the conditions for measurement, we might change the tests on which we rely, but often without changing the meaning of the sentences whose truth we might be trying to test (which, as Putnam 1965 [1975] pointed out, is precisely what practicing scientists regularly do).».

9.2.2 Pragmatismo

«One effect of abandoning them [the analytic/synthetic distintion] is, as we shall see, a blurring of the supposed boundary between speculative metaphysics and natural science. Another effect is a shift toward pragmatism.» I

«As an empiricist I continue to think of the conceptual scheme of science as a tool, ultimately, for predicting future experience in the light of past experience. Physical objects are conceptually imported into the situation as convenient intermediaries —not by definition in terms of experience, but simply as irreducible posits comparable, epistemologically, to the gods of Homer. [...] The myth of physical objects is epistemologically superior to most in that it has proved more efficacious than other myths as a device for working a manageable structure into the flux of experience.

Imagine, for the sake of analogy, that we are given the rational numbers [as metaphor for experience]. We develop an algebraic theory for reasoning about them, but we find it inconveniently complex, because certain functions such as square root lack values for some arguments. Then it is discovered that the rules of our algebra can be much simplified by conceptually augmenting our ontology with some mythical entities, to be called irrational numbers [metaphor for physical objects]. All we continue to be really interested in, first and last, are rational numbers; but we find that we can commonly get from one law about rational numbers to another much more quickly and simply by pretending that the irrational numbers are there too.

[...] Ontological questions, under this view, are on a par with questions of natural science. [...] Now Carnap has maintained that this is a question not of matters of fact but of choosing a convenient language form, a convenient conceptual scheme or framework for science. With this I agree, but only on the proviso that the same be conceded regarding scientific hypotheses generally.» VI

A De la independencia de AC

A.1 De las investigaciones entorno a $\neg$ AC

Aunque por inercia suela asumirse AC (Axioma de Elección) y CH (Hipótesis del Continuo, generalización equivalente a AC) como ciertas, Woodin The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal 1999 explora y argumenta en favor de su opuesto,

Cf. SEP The Continuum Hypothesis 3. The Case for ¬CH.

y en NF incluso puede probarse que son falsos.

De ahí, en parte, el interés por los axiomas DC (de Elección Dependiente, más débil que AC por Solovay 1970) y

{A C}_{ω}

(de Elección Numerable, más débil que DC por Jech 1973), también independientes de ZF (Cohen 1963), pero que no se han llegado a refutar en NF,

Cf. SEP Quine’s New Foundations 4. History.

y que sí son compatibles con AD (Axioma de Determinación), a diferencia de AC. Más aún, DC no basta para demostrar la Paradoja de Banach–Tarski (Wagon The Banach–Tarski Paradox 1985).

A.2 De la existencia de otros resultados independientes

Según SEP Gödel’s Incompleteness Theorems 4.5 Concrete Cases of Unprovable Statements, éste es el único resultado significativo que se conoce independiente de ZF (modulo equivalencias,

Las cuales no son precisamente pocas; ni tampoco triviales, como nota el chiste de Jerry Bona: «The axiom of choice is obviously true, the well–ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?» (Krantz The axiom of choice 2002).

cf. Wikipedia Axiom of choice 8. Equivalents, y variantes más fuertes o débiles).

Pues aunque en teoría descriptiva de conjuntos se han encontrado otras afirmaciones indemostrables en ZF, como el axioma de determinación proyectiva (PD), no me consta que se haya demostrado que ZF+PD y ZF+

\neg

PD sean ambos consistentes (relativos a ZF), sino sólo que PD se cumple en el modelo de Solovay de ZF+DC+existencia de cardinales inaccesibles (1970), o que es cierto (para cualquier modelo) bajo la hipótesis más fuerte de ZF+DC+existencia de cardinales de Woodin (1990), que es a su vez equiconsistente a ZF+DC+AD. Pero esto sólo demuestra que ZF+DC+AD+PD es consistente relativo a ZF+DC+AD (cuya consistencia relativa no está basada en ZF+DC), y en cualquier caso no dice nada sobre ZF+DC+AD+

\neg

PD.

A.3 De su (¿presunta?) excepcionalidad

La actitud en los Principia de Russell y Whitehead respecto a AC y el axioma del infinito, introduciéndolos explícitamente como hipótesis en los teoremas que dependen de ellos, me hace pensar si en verdad no hay nada de excepcional en AC, y es una hipótesis como otra cualquiera.

E.g., cuando digo que es cierto que «siempre existe un buen orden» si admitimos AC, pero falso si lo negamos (suponiendo en ambos casos ZF como framework), no estamos haciendo una afirmación de naturaleza distinta a: es cierto que «el (pre)orden de especialización es un orden parcial discreto

I.e., que coincide con la igualdad

» si admitimos el axioma de separación

T_{1}

, pero falso si lo negamos (suponiendo en ambos casos

T_{0}

como framework).

Supongo que cabría decir ZF+

T_{0}

, pero la existencia de la synthetic topology me hace dudar de si realmente ZF es una hipótesis ímplicita del resultado.

Sin embargo, la analogía no es perfecta, pues

T_{1} ⊊ T_{0}

, mientras que AC es independiente (en sentido coloquial) de ZF. Y similarmente con el álgebra no conmutativa, que a pesar del nombre, no se restringe a aquellas en las que hay al menos un elemento que no conmuta, sino que simplemente prescinde de la conmutatividad como hipótesis.

E incluso apelando a los hiperreales, que son un cuerpo ordenado completo no-arquimediano, en oposición al cuerpo ordenado completo arquimediano de los reales, puede verse por el principio de transferencia que todo resultado cierto para uno lo es para el otro. Y siguiendo con los clásicos, la negación del quinto postulado de Euclides llevó a la teoría omniabarcante de Riemann, donde el valor de la curvatura determina la veracidad o no del postulado.

Y aquí podríamos hablar también de la explosión de medidas, métricas... distintas desarrolladas en paralelo, si bien la comparación con AC me sigue pareciendo ilegitima.

Y la negación de la lógica Aristotélica llevó a la lógica difusa (situación análoga a Riemann), el intuicionismo (ídem con álgebra no conmutativa), etc.

Ahora bien, nada nos impediría tomar como base KP en vez de ZF, y reformular todos los teoremas de ZF que dependen de axiomas que no están en KP como condicionales, y desarrollar entonces paralelamente una teoría de KP + las negaciones de los axiomas de ZF que no están en KP. Sin embargo, el porqué querríamos hacer esto, o si siquiera tiene sentido, está más allá de mi entendimiento. Y si bien sigo sospechando que debe haber ejemplos más naturales que rechacen la excepcionalidad de AC, me temo que estoy demasiado oxidado para verlos.

Analítico vs sintético: Un viaje personal alrededor de la naturaleza de la matemática

Analítico vs sintético

Un viaje personal alrededor de la naturaleza de la matemática

Índice general

Parte I Preámbulo

1 Introducción

1.1 Descarga de Responsabilidades

1.2 Precedentes

1.3 Ejemplos a la Kant

1.4 Aclaraciones

1.4.1 Esencial a posteriori

1.4.2 Contingente a priori

1.4.3 Contingente a posteriori analítico

1.4.4 Esencial a priori sintético

2 Leibniz, y el principio de razón suficiente

2.1 Postulado

2.2 Ejemplos

2.3 Cierre

3 Kant, y la aritmética como sintético a priori

3.1 Postulado

3.2 Críticas

3.2.1 Dedekind. De la auto-evidencia de la aritmética

3.2.2 Frege. De los contenidos de la aritmética

4 Paréntesis

4.1 Del status de la geometría

4.2 De un presunto sintético a priori en física

Parte II Propuesta

5 Analiticidad como deducibilidad

5.1 Introducción a la propuesta

5.2 Axioma vs definición

5.3 Del status de la meta-matemática

5.4 Del carácter sintético y representativo de los axiomas

6 De la contingencia de los axiomas

6.1 Introducción al problema

6.2 Definiciones equivalentes, y resultados y técnicas universales

6.3 Axiomas desbancados (supersede)

6.4 Axiomas alternativos, y teoría verificacionista

7 Un último intento (Preludio a Hegel)

7.1 Analiticidad y falsedad

7.2 El demonio de Laplace

7.3 Analiticidad y vacuidad

Parte III Cierre

8 Hegel, y el reino de las leyes

9 Quine, y el fracaso de la analiticidad como sinonimia

9.1 Postulado

9.2 Consecuencias

9.2.1 Holismo

9.2.1.1 Postulado

9.2.1.2 Ejemplo

9.2.2 Pragmatismo

A De la independencia de AC

A.1 De las investigaciones entorno a ¬ AC

A.2 De la existencia de otros resultados independientes

A.3 De su (¿presunta?) excepcionalidad

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