Frege: sentido y referencia a través de ejemplos

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Frege: sentido y referencia

a través de ejemplos

Sékioz de Niafre

«I shall therefore state three puzzles which a theory as to denoting ought to be able to solve; [...]

(1) If $a$ is identical with $b$, whatever is true of the one is true of the other, and either may be substituted for the other without altering the truth or falsehood of that proposition. Now George IV wished to know whether Scott was the author of Waverley; and in fact Scott was the author of Waverley. Hence we may substitute “Scott” for “the author of Waverley” and thereby prove that George IV wished to know whether Scott was Scott. Yet an interest in the law of identity can hardly be attributed to the first gentleman of Europe.».

Russell On Denoting 1905

1 Una referencia, múltiples signos, múltiples sentidos

DISCLAIMER. No voy a reescribir esta sección, pero sí quiero advertir de que en ella se mezclan confusamente dos fenómenos similares —equivalentes, incluso— pero distintos:

1. que dos caracterizaciones unívocas de un objeto no son iguales —o no dan la misma información— simplemente por referirse al mismo objeto.
2. que no puedo saltar de una caracterización unívoca de un objeto a otra por medios analíticos, sino que cada una de ellas se obtiene de manera independiente y sintética a partir del objeto, viendo a posteriori que coinciden al percatarme de que se refieren al mismo objeto

En retrospectiva, creo que es todo bastante obvio; sólo lo enrevesado de la exposición (¿y de Frege?) hace parecer lo contrario.

Consideremos los siguientes sujetos:

1. El compañero de trabajo que se sienta a mi izquierda
2. La persona a la que dedique <texto>
3. Mi master de <juego de rol>
4. Mi amigo cossplayer
5. <Nombre y apellidos>
6. <Apodo>
7. <Alias de Discord>
8. etc.

Y supongamos que todas las personas que mencioné son, en realidad, la misma persona, simplemente que descrita, identificada o señalada de manera diferente, o mediante un sentido diferente, donde:

• Los corchetes angulares indican nombres propios gramaticales
• El resto de puntos son descripciones definidas, pudiendo formalizar la primera como «existe un compañero de trabajo que se sienta a mi izquierda»; cuando una descripción definida es cierta, ésta denota además al objeto descrito.
  1

  Para una exposición aun más técnica, que vendrá a mano tras el ejemplo, cf. Sección 4.

Entonces, por el principio de identidad, alguien podría decir —con la misma ingenuidad del jocoso epígrafe— que todas estas expresiones (o sus sentidos asociados) son la misma expresión (sentido), y que cualquier juicio aplicado a una de ellas es cierto para cualquiera de ellas. En particular:

1. «mi amigo cossplayer» = «mi amigo cossplayer», y siempre puedo sustituir uno por otro
2. «mi amigo cossplayer» = <Nombre y apellidos>, e ídem

Ahora bien, técnicamente, el principio de identidad únicamente postula que: $$\models \forall x\left(x=x\right)$$Luego:

1. Se deduce (1), pues se puede obtener analíticamente (i.e., sin necesidad de conocerme a mí, ni a mis amigos, ni investigar quienes de ellos se cosspleyan), con sólo observar la forma del enunciado (incluso sin ni siquiera saber castellano, ni estar familiarizado con los símbolos utilizados, salvo por la igualdad).
2. Pero no se deduce (2), pues todo lo anterior no aplica: tengo que recurrir a una investigación empírica para obtenerlo, por mucho que sean la misma cosa.

En otras palabras, el principio de identidad aplica sólo a objetos de la misma naturaleza, i.e., objetos del mismo universo del modelo en el que se evaluá la sentencia. Y claramente no es lo mismo el universo de sentidos —o aun más fácil de visualizar, de signos o símbolos—, que es nuestro único medio para expresar las referencias

2

«realidad extralingüística a la que remite un signo» RAE. El término fregeano, bedeutung, también ha sido traducido como significado.

(o referir los objetos), que el universo de las referencias mismas. De ahí que, cuando dos sentidos diferentes,

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Aquí el argumento puede parecer un poco circular: obviamente la definición «el humano que trabaja a mi izquierda» no constituye un sentido diferente a la primera que dimos originalmente, pero alguien podría argumentar que tampoco con respecto de la segunda; e.g., apelando al principio de razón suficiente de Leibniz. La semántica de Frege, esbozada en Sección 4, ofrece un criterio de demarcación que disuelve este entuerto.

$f\left(X\right)$ y $g\left(Y\right)$, tienen la misma referencia para ciertos argumentos, $a$ y $b$ respectivamente, no decimos que $f\left(X\right)=g\left(Y\right)$, pues cada sentido constituye su propio contenido o valor cognoscitivo-semántico, sino que $f\left(a\right)=g\left(b\right)$.

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Cf. Sección 4 (uso la negrita para indicar que son vectores). Siguiendo la analogía de teoría de modelos, no decimos que dos wff son iguales simplemente porque sean semánticamente equivalentes para una cierta evaluación de sus variables libres, ni que dos sentencias son iguales simplemente porque sean semánticamente equivalentes para una cierta interpretación (modelo).

Otra cuestión, en la que no voy a entrar aquí, es si se podría o no hacer dicha sustitución de sentidos si sólo nos interesará el valor de verdad y, además, restringiéramos los argumentos a un dominio que nos garantizara que los sentidos siempre van a coincidir al evaluarse (i.e., si halláramos unos conjuntos $C,D$ tales que $f_{|C}=g_{|D}$), dando pie a un natural abuso de notación.

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¿Mediante un modelo estándar?, ¿vía un espacio producto de los espacios en los que viven los respectivos argumentos de cada sentido, cuidadosamente construido? (¿producto tensorial?)

Es más, ¿siquiera puedo pensar en algún ejemplo en el que se hagan dichas sustituciones, ni que sea en matemáticas?

O alternativamente, si se podría trabajar directamente con las referencias.

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E.g., restringiendo nuestro lenguaje para que haya un único sentido para cada referencia (Frege), como presumiblemente se hace en matemáticas: me da igual como se haya construido $N$, pues los axiomas de Peano van abstraer sus sentidos particulares en un sentido «canónico». Y si bien existen modelos no estándar de la axiomática de Peano, también puedo simplemente ignorarlos.

Sea como fuere, estos no serían más que rodeos o parches al problema de fondo: que no puedo igualar sentidos distintos simplemente porque tengan la misma referencia apelando al principio de identidad, pues las referencias y los sentidos son cosas completamente distintas.

1.1 Tangente matemático-kantiana

Retomando el carácter no analítico de la igualdad (2), quiero recalcar el tremendo salto que supone, citando un ejemplo paradigmático de esto: los teoremas que establecen la equivalencia entre definiciones diferentes. E.g., respecto a la:

1. Esfera: Hilbert y Cohn-Vossen Geometry and the Imagination Ch. IV Sec. 32: Eleven Properties of the Sphere (1932).
2. Completud: J. F. Hall y T. D. Todorov Completeness of the Leibniz Field and Rigorousness of Infinitesimal Calculus. (2011).
3. Continuidad: Thurston On proof and progress in mathematics Sec. 2 (1994).

Cada una de las definiciones que se enumeran en dichas obras resalta un aspecto (o sentido) del objeto ideal matemático (o referencia), viéndose a posteriori (vía teorema) que coinciden,

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Desde esta perspectiva, o bien los teoremas matemáticos son sintéticos («La matemática es una parte de la física» V. I. Arnold 1997), o bien hay dos niveles de juicios analíticos.

i.e., que comparten el mismo sustrato (o referencia), o que existe una idea subyacente común a ellas.

Tanto es así, que resulta tentador decir que el par (sentido, argumentos)

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Probablemente, casi siempre que digo «sentido» debería decir «sentido-argumentos», pero creo que por contexto ya se entiende bien cuando estoy abusando de la notación.

es la representación kantiana del objeto fenoménico o lógico,

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Para Frege, existen objetos independientes de las intuiciones sensibles.

mientras que la referencia es el objeto fenoménico o lógico mismo. Y bajo esta nueva perspectiva, lo que diría Frege es que «afirmar que dos representaciones distintas corresponden a un mismo objeto» constituye un juicio completamente distinto a «afirmar que dos representaciones distintas son iguales»; iguales no en referencia al objeto, sino únicamente por medios analíticos.

Ahora bien, esto plantea la siguiente cuestión: ¿existen juicios (no triviales) de la segunda clase, o los sentidos no pueden pensarse ni manipularse sin una referencia en mente, ni que sea implícita o derivativamente?

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Nótese que sí existen sentidos sin referencia: si hago un garabato aleatorio (un nuevo signo) para ilustrar mi punto, este no tendrá una referencia, pero sí un sentido: el de ilustrar mi punto. Sin embargo, esto no responde a mi pregunta.

Recíprocamente, que las referencias no pueden referirse, expresarse o incluso pensarse sin un sentido es obvio: en el lenguaje mismo no hay referencias, sino sólo sentidos, que además vendrán con cargas y connotaciones fuera de mi control.

I.e., ¿existe realmente el método analítico?

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«the prodigious development of arithmetical studies, with their multitudinous applications, will suffice to put an end to the widespread contempt for analytic judgments and to the legend of the sterility of pure logic» The Foundations of Arithmetic (1884), I, Are the laws of arithmetic snthetic a priori or analytic?, 17.

A pesar del rotundo sí de Frege, quiero insistir en que para él los objetos lógicos son independientes (en origen) de las intuiciones sensibles, algo un tanto cuestionable, cf. Thamaem ¿Cuánta información sensorial necesito para hacer matemática?

2 Una referencia, un signo, múltiples sentidos

Consideremos la oración «quedemos mañana en el banco», que el emisor pronuncia con una referencia concreta en mente, aunque necesariamente se aproxime a ella mediante un sentido particular.

Para empezar, el signo «banco» es ambiguo, pues tiene varias acepciones: ¿el emisor está pensando en sacar dinero, o en sentarse en el parque?

Pero supongamos que especificamos la acepción con un subíndice, o aun mejor, que emisor y receptor comparten un contexto lingüístico que les permite sustraer de ese mismo signo (u oración) la referencia exacta señalada por la misma. Aun así, el sentido que le atribuya cada uno puede ser muy distinto:

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«Atribuya» porque los sentidos no son propios de la referencia, sino construidos por el sujeto para la referencia. En particular, e.g., es equívoco, o incluso incorrecto, decir que ratonero o minino son sentidos diferentes de una misma referencia. Sí, habrá referencias que admitan ambos, pero también las habrá que no, pues aunque se consideren sinónimos, cada uno de esos términos tiene una connotación particular, que además depende del sujeto.

1. Del parque de George IV, entrando por el portón frente a la iglesia, el segundo banco junto a una estatua.
2. El banco guardado en Mis Sitios de Google Maps.

De hecho, puede ocurrir que el segundo sujeto haya terminado aprendiéndose las coordenadas, o que no se sepa el nombre del parque, ni que una de sus entradas esta frente a una iglesia, ni que hay una pequeña estatua próxima al banco.

Y también puede suceder que:

1. borre sin querer el sitio en Maps, perdiendo su sentido a la referencia.
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   Técnicamente, el sentido sigue existiendo, en la forma de: «el banco que tenía guardado en Maps». Ahora bien, la capacidad descriptiva del nuevo sentido es mucho menor.
2. o, en caso de saberse las coordenadas de memoria, extravíe su móvil, deviniendo su sentido inútil o inevaluable.
3. o, en caso de conocer también el primer sentido, que cambien de nombre al parque, se incendie la iglesia, y cambien de sitio la estatua, y que esto haya pasado hace mucho tiempo, de modo que nadie al que pueda preguntar por direcciones conserve dichos sentidos a la referencia (análogamente a 1), en cuyo caso cabría preguntarse si no sólo se ha perdido el sentido, sino también la referencia (al haberse modificado su entorno y contexto).

2.1 Tangente matemática

Incluso aunque hubiéramos tomando un signo aparentemente menos contingente, como por ejemplo «2», seguiríamos teniendo el mismo problema (salvo que fijáramos un sentido como canon), pues éste depende de como (o en que sentido) entendamos a los naturales:

1. Euclides: fijado por convenio un segmento arbitrario para designar la unidad, 2 es el resultado de concatenarlo una vez (i.e., número como multiplicidad de la unidad).
2. Frege NST (por el principio de Hume–Cantor): 2 es la clase de todos los conjuntos que puedo contar (poner en biyección) con (el conjunto formado por) exactamente (i.e., ni más ni menos que) mi pulgar e índice.
3. Zermelo: $2=\{1\}=\{\{\varnothing \}\}$ el conjunto conteniendo únicamente el ordinal (número) que lo precede.
4. von Neumann: $2=\{0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ el conjunto bien ordenado de todos los ordinales menores.
5. Sistema reales naturales: como restricción de $R$, que tiene sus propias y múltiples construcciones (cortaduras de Dedekind, sucesiones de Cauchy, etc.).
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   Cf. Wikipedia, Construction of the real numbers. (aun en el caso de que dichas construcciones dependan de una concepción previa de los naturales, eso no me impide repensar a los naturales en términos de los reales a posteriori)
6. Peano: $2$ es el sucesor del sucesor de cualquier modelo que cumpla su axiomática.
7. etc.

3 Una referencia, un signo, un sentido

«la relación ideal consiste en que a un signo le corresponda un sentido y a éste una referencia, lo cual no refleja el comportamiento usual del lenguaje. Este comportamiento ideal es el que hay que exigir en los lenguajes formales,».

Mª Uxía Rivas Frege y Peirce: en torno al signo y su fundamento 1996

Consideremos los siguientes juicios:

1. Sócrates es sabio
2. Sócrates es un humano
3. Sócrates es (real)

En lenguaje natural, pareciera que estemos predicando que cierto individuo (Sócrates) posee ciertas propiedades (ser sabio, un humano, real), i.e., que la palabra «ser» se comparta análogamente en todos estos juicios.

Sin embargo, una posible formalización de los mismos puede conferir a cada uno de esos «ser» de un valor completamente distinto. En efecto, denotando a Sócrates por $s$, tenemos que:

1. Si $S$ es la propiedad de ser sabio, (1) equivale a $I\left(S\left(s\right)\right)=1$, o incluso simplemente $S\left(s\right)$ por abuso de notación (i.e., es cierto que $s$ satisface la propiedad $S$, o simplemente, $s$ satisface $S$).
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   «It is worthy of notice that the sentence "I smell the scent of violets" has the same content as the sentence "it is true that I smell the scent of violets". So it seems, then, that nothing is added to the thought by my ascribing to it the property of truth.» Frege Thought 1918.
2. Si $H$ es el conjunto de humanos, (2) equivale a $s\in H$ (i.e., $s$ es un elemento del conjunto $H$).
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   Por supuesto, $H$ se podría definir intensionalmente como $H=\{x\in E:h\left(x\right)\}$, donde $E$ podría ser el conjunto de las cosas existentes, y $h$ la propiedad de ser humano. Pero que la relación entre propiedad y conjunto sea íntima no significa que sean la misma cosa, pues para empezar, el tratamiento conjuntista me obliga a invocar (explícitamente) a un superconjunto (por el axioma de especificación) para no caer en antinomias, mientras que $S\left(s\right)$ no requiere de ningún conjunto para formularse sintácticamente, ni tampoco impone un conjunto específico en el que evaluarse semánticamente, e incluso podría ser que fuera cierta independientemente del conjunto (modelo) escogido (i.e., que fuera una sentencia valida).
3. $\left(\exists x\right)\left(x=s\right)$, o simplemente $\exists s$ (i.e., existe un «individuo» que es $s$, o simplemente, $s$ existe).

Este último ejemplo es particularmente interesante, pues pone de manifiesto lo etéreo de la afirmación. Para empezar, hemos de tener la precaución de notar que $s$ no es una variable,

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En cuyo caso sería una variable libre, de modo que la afirmación ni siquiera sería una sentencia cuya verdad podamos evaluar en algún modelo.

sino una constante lógica, como lo sería 0 en el modelo estándar de los naturales. Y para seguir, lo único que afirma es que nuestro modelo contiene dicha constante (o que dicha constante es del modelo), pero sin decir nada sobre la misma: ¿qué es esa cosa, a la que llaman «Sócrates»?

Incluso sin necesidad de acudir a teoría de modelos, de normal (en matemáticas), cuando decimos que existe algo, es siempre con respecto a un conjunto y una propiedad, por lo que la afirmación $\left(\exists x\right)\left(x=s\right)$ no dice absolutamente nada si no especificamos donde vive $x$. O en otras palabras, la existencia no es una propiedad, del mismo modo que tampoco lo son el resto de conectivas lógicas, sino un descriptor.

Y aun así, tampoco diría mucho, pues $\left(\exists n\in N\right)\left(n=1\right)$ no deja de ser una manera enrevesada de decir que $1\in N$: no es sino al complejizar nuestras predicaciones que tiene sentido hablar de la existencia o realidad de algo. E.g.:

1. $\left(\exists n\right)\left(n\in N\bigwedge n^2=n\right)$, i.e., existen naturales idempotentes respecto el producto
2. $\left(\forall p\in R\right)\left(\forall \epsilon \in R\right)\left(\epsilon >0\right)\left(\exists \delta \left(\epsilon ,p\right)\in R\right)\left(\delta \left(\epsilon ,p\right)>0\right)\left(\forall x\in R\right)\left(|x-p|<\delta \left(\epsilon ,p\right)\Rightarrow |x^2-p^2|<\epsilon \right)$, i.e., la función $x↤x^2$ en $R$ es continua; e.g., tomando $\delta \left(\epsilon ,p\right)=min\{1,\frac{\epsilon }{1+2\left|p\right|}\}$.

Y es entonces cuando también se hace evidente la importancia del conjunto (modelo) en el que se considera la predicación (sentencia), pues su veracidad puede variar según éste. E.g.:

1. $\left(\exists x\right)\left(x^2+1=0\right)$ es falsa en $R$ pero cierta en $C$.
2. $\left(\exists x\right)\left(x+1=0\right)$ es falsa si $x>0$ (e.g., si estamos resolviendo una ecuación para una distancia o módulo, que no tendría sentido físico si fuera negativa).

(Otro ejemplo interesante de esta suerte de fragmentación de un signo en varios en pos de la monosemia, en el que no voy a entrar, es el que se refiere el principio de equivalencia, cf. Veritasium Is Gravity An Illusion? 2020-10-9, Test of the Equivalence Principle Using a Rotating Torsion Balance 2008.)

3.1 Tangente

Releyendo los títulos de las secciones, me resulta irresistible revisar todas las posibles combinaciones 2 a 2 entre signo, sentido y referencia para los valores ninguna, una y múltiples, que esquemáticamente se verían así:

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Hago esto por puro regocijo propio: soy consciente de que, más que una licencia, es una aberración.

1. Un signo, un sentido: monosemia
2. Un signo, múltiples sentidos: polisemia
3. Un sentido, múltiples signos: sinonimia
4. No hay sentidos sin signos, pues son el medio a través del cual se expresan
5. No hay signos sin sentidos, por definición (al menos para Frege)
6. Un sentido, múltiples referencias: sustantivos abstractos, colectivos o comunes
7. Una referencia, múltiples sentidos: caracterizaciones equivalentes
8. Una referencia, un sentido: caracterización específica-monosemica
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   Por contraposición a 6, me tienta también identificarlo con los nombres propios en general, pero las siguientes citas de Funktion und Begriff me hacen vacilar:

   «El sentido de un nombre propio lo capta cualquiera que conoce suficientemente el idioma, o el todo de designaciones a los cuales pertenece; pero esto ilumina la referencia, si está presente, sólo de manera unilateral. A un conocimiento completo de la referencia contribuiría si pudiéramos determinar para cada sentido dado de inmediato si le pertenece. A esto no llegamos nunca».

   «La oración “Ulises fue puesto en tierra, profundamente dormido, en Ítaca” evidentemente tiene un sentido. Puesto que es dudoso si el nombre que en ella aparece, «Ulises», tiene también una referencia, es dudoso también si toda la oración tiene una».

   «La referencia de un nombre propio es el objeto mismo que con él designamos»
9. Si hay referencias sin sentido, no podemos conocerlas (a la noúmeno)
10. Un sentido, sin una referencia: cualquier sentido falso o proveniente de la ficción.
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    Omito los 5 casos restantes para signo-referencia por parecerme redundantes, quizá por transitividad.

4 Aclaraciones finales

Cada vez que me he intentado autoexplicar que son sentido y referencia en Frege, he terminado reentendiendolo de manera diferente. Y aunque la finalidad original del texto era simplemente jugar con las dificultades del principio de identidad, voy a intentar esbozar aquí el núcleo de su semántica, aunque no sé si me atrevo a revisar lo anterior bajo esta nueva luz.

1. Las oraciones no están compuestas por una dupla sujeto-predicado, S+V, sino función-argumentos, $f\left(a_1,\dots ,a_n\right)$.
2. Una función $f$ es cualquier relación $n$-aria («relaciones y conceptos» en Frege).
   21

   Para este nivel de discusión, la distinción es irrelevante.
3. Sea $\{X_i{\}}_{i=1}^n$ un conjunto de indeterminadas.
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   «symbol that is treated as a variable, that does not stand for anything else except itself and is often used as a placeholder». Piénsese como a un meta-argumento, o como a constantes lógicas del metalenguaje, aunque técnicamente no dejan de ser argumentos-objetos.

   Las introduzco por lo impráctica de la notación que he visto usar, cambiando las indeterminadas por «( )». Y también para evitar la confusión entre $f$, el nombre de la función, y $f\left(X_1,\dots ,X_n\right)$, la definición de la función.
   El sentido de la oración es la «función insaturada» (i.e., sin evaluar), $f\left(X_1,\dots ,X_n\right)$.
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   «Como meramente una cosa, por supuesto, la letra ‘y’ no está menos insaturada que cualquier otra cosa. Puede llamarse insaturada con respecto a su uso como símbolo que expresa un sentido, pues aquí puede tener el sentido que se pretende sólo cuando está situado entre dos oraciones; su propósito como símbolo requiere completarse con una oración precedente y una sucesora. Es realmente en el reino del sentido que se encuentra la insaturación y ésta es transferida de ahí al símbolo» Gedankengefüge 1923.

   También puede pensarse $f\left(X_1,\dots ,X_n\right)$ como al esqueleto de una sentencia lógica, o lo que es lo mismo, la sentencia antes de su evaluación para una interpretación (modelo) concreto.
4. Un argumento $a$ de $f$ es: o bien un objeto, o bien el resultado de evaluar una función, $a=g\left(b_1,\dots ,b_m\right)$.
   24

   Aunque use otras letras, nada impide que coincidan.
5. Por recursión, se llega a que hay unas funciones primitivas.
6. En la categoría «objeto» se incluye a los de la lógica,
   25

   Como pone de manifiesto la presunta paradoja del concepto (a saber: que «el concepto F» no es un concepto, sino un objeto), cf. Valdivia Dounce El espejar y el retratar en la semántica de Frege 2015.
   que Frege considera independientes de las intuiciones sensibles, en confrontación directa con Kant.
7. Si $a_1,\dots ,a_n$ son argumentos, la evaluación de $f\left(a_1,\dots ,a_n\right)$ nos da su valor de verdad respecto a $f$, además de denotar al objeto descrito.
   26

   De ahí su teoría deflacionaria, o que haya descrito $f\left(X_1,\dots ,X_n\right)$ como sentencia y no meramente wff.

   Más importante aun, «Un enunciado afirmativo no contiene ningún lugar vacío [o indeterminada] y por eso hay que considerar que su referencia es un objeto. Esta referencia, empero, es un valor veritativo. Por lo tanto, ambos valores veritativos son objetos.» Funktion und Begriff 160 (1891). En particular, si lo entiendo bien, no sólo hay funciones primitivas, sino también conceptos primitivos, y en (4) $f$ siempre se evaluá sobre objetos, pues su evaluación es un objeto.

«When we say: "George IV. wished to know whether so-and-so," or when we say "So-and-so is surprising" or "So-and-so is true," etc., the "so-and-so" must be a proposition. Suppose now that "so-and-so" contains a denoting phrase. We may either eliminate this denoting phrase from the subordinate proposition "so-and-so," or from the whole proposition in which "so-and-so" is a mere constituent. Different propositions result according to which we do. I have heard of a touchy owner of a yacht to whom a guest, on first seeing it, remarked, "I thought your yacht was larger than it is"; and the owner replied, "No, my yacht is not larger than it is". What the guest meant was, "The size that I thought your yacht was is greater than the size your yacht is"; the meaning attributed to him is, "I thought the size of your yacht was greater than the size of your yacht". To return to George IV. and Waverley, when we say, "George IV. wished to know whether Scott was the author of Waverley," we normally mean "George IV. wished to know whether one and only one man wrote Waverley and Scott was that man"; but we may also mean: "One and only one man wrote Waverley, and George IV. wished to know whether Scott was that man". In the latter, "the author of Waverley" has a primary occurrence; in the former, a secondary. The latter might be expressed by "George IV. wished to know, concerning the man who in fact wrote Waverley, whether he was Scott". This would be true, for example, if George IV. had seen Scott at a distance, and had asked "Is that Scott?" A secondary occurrence of a denoting phrase may be defined as one in which the phrase occurs in a proposition p which is a mere constituent of the proposition we are considering, and the substitution for the denoting phrase is to be effected in p, not in the whole proposition concerned. The ambiguity as between primary and secondary occurrences is hard to avoid in language; but it does no harm if we are on our guard against it. In symbolic logic it is of course easily avoided.».

Russell On Denoting 1905