Propiedades emergentes en matemáticas

Sogol Thamaem

Aunque no voy a entrar en el debate de si las propiedades emergentes pueden reducirse a sus componentes elementales, como propone el materialismo eliminativo apelando a los epifenómenos, sí me gustaría notar brevemente dos ejemplos matemáticos, haciéndome eco del More is different (1972) del físico nobel Philip Anderson.

Si bien el sustrato último de la matemática contemporánea ordinaria es la teoría de conjuntos, al estudiar análisis funcional rara vez voy a pensar a los espacios de Hilbert eminentemente como a conjuntos que casualmente vienen equipados con una cierta estructura algebraica, sino que trabajare con ellos en su propio contexto, en el que ni siquiera dicha estructura de partida acabara constituyendo algo preeminente de ellos, pues una vez sentadas las bases de su teoría los voy a manipular en otros términos.

En particular, puedo desarrollar este nuevo cuerpo de conocimiento distintivo sin apenas entendimiento de esa noción «primigenia» de conjunto, aunque de manera puntual pueda resultar interesante acudir a ella; ya no como a madre, sino como a hermana.

1

E.g., Johan de Jong et al. Stacks Project cita 000X (p. 21), un lema de conjuntos, en 0DFK (p. 5287), para una definición de teoría de esquemas.

Tanto es así, que puedo compartimentalizarlas completamente, como se hace en las aproximaciones de la synthetic mathematics,

2

Introducción disponible en nLab.

la reverse mathematics, o los satisfiability modulo theories solvers.

3

Por citar ejemplos más concretos, piénsese en las axiomatizaciones consistentes, completas y decidibles de la geometría euclideana o la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica dada (cf. Tarski A decision method for elementary algebra and geometry 1948 y What is elementary geometry? 1959), o en la teoría completa de la linear arithmetic.

Similarmente, si bien el sustrato último de la teoría de conjuntos es la lógica, las demostraciones matemáticas no se conciben ni se escriben con la formalidad que el logicismo exigiría, y que requiere en los Principia de Russell y Whitehead de ~750 páginas para llegar a demostrar que 1+1=2. Sí, ante la duda siempre podemos bajar a los conceptos y razonamientos últimos hasta llegar a los axiomas, pero ello probablemente terminaría ofuscando la big picture de la demostración.

4

Cf. Sogol De las demostraciones sec 2.2.2, particularmente la última enumeración.

Aunque nuevamente, que la naturaleza de ambas aproximaciones sea radicalmente distinta no significa que no puedan convivir, como ponen de manifiesto las de demostraciones formales vía asistentes de prueba.

5

Cf. ib.