Kant y la matemática del XIX: una brecha irreparable

Kant y la matemática del XIX

Outline de una brecha irreparable

Sogol Thamaem

1. El nacimiento de la lógica algebraica y matemática pone en entredicho su:

   «desde Aristóteles, [la lógica] no ha tenido que dar un paso atrás, a no ser que se cuenten como correcciones la supresión de algunas sutilezas inútiles o la determinación más clara de lo expuesto, cosa empero que pertenece más a la elegancia que a la certeza de la ciencia. Notable es también en ella el que tampoco hasta ahora hoy ha podido dar un paso adelante. Así pues, según toda apariencia, hállase conclusa y perfecta.» Crítica de la razón pura, prólogo de la 2a ed. (1787)

2. El surgimiento de las geometrías no euclidianas a 1820 pone sobre la mesa que:
   1. La determinación de si el espacio es euclidiano o proyectivo sólo puede ser a posteriori.
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      Cf. César Tomé Los triángulos de luz y el sintético a priori (2013-6-23).
      Por contra, el espacio del sintético a priori de Kant no es una noción abstracta de espacio,
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      Cabría preguntarse si realmente se puede pensar en un espacio así, sin sesgos de ningún tipo, compuesto únicamente por las características comunes a todos ellos.
      sino que es claramente identificado con el espacio euclideano, como deja constancia que tome como idea preeminente de dicho espacio la métrica, que no es un elemento conceptual básico del espacio proyectivo.
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      Cf. Javier De Lorenzo La matemática: de sus fundamentos y crisis 2.1.1 (1998). Alguien podría apelar que esta crítica es más en el sentido hegeliano de no haber una correspondencia entre nuestra concepción del mundo y el mundo mismo, y no en que no tengamos una intuición a priori de espacio. Sin embargo, ¿tendrían la misma intuición dos sujetos criados en espacios de curvaturas completamente distintas? Más aún, ¿podrían existir bilingües nativos? O en otras palabras, ¿cómo entendería el espacio un individuo criado al mismo tiempo en un espacio fuertemente hiperbólico y otro fuertemente parabólico, si no simultáneamente, mediante una continua ida y vuelta entre ambos?
   2. Ni la intuición ni el fenómeno son criterios fiables de investigación, como manifiestan los programas de fundamentación de la matemática y sus críticas ya no a la geometría de Euclides, sino a su metodología.
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      Cf., e.g., carta de Dedekind a Lipschitz del 1876-7-27.

Digresión. Irónicamente, esta última crisis es seguramente independiente de la de la geometría euclideana, y puede entreverse ya a 1784, cuando, a sugerencia de Lagrange, la Academia de Ciencias de Berlín ofrece 50 ducados a quien pueda fundamentar el cálculo, en cuyo proceso de aritmetización se chocara con la noción de continuidad o completud de los reales (Bolzano 1810–17, Cauchy 1821).

Sea por el motivo que fuere, lo cierto es que la comunidad matemática se desmembrara en una miriada de posturas a mediados del XIX: el inscripcionismo de Hankel o Heine, el formalismo de Thomae, la axiomática de Pasch (1882), el constructivismo semi-intuicionista de Kronecker,

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«Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre» 1886

el constructivismo conceptual o estructuralismo (o método genético) vía conjuntos de Dedekind (1872, 1888), el realismo trascendente de un segundo Cantor,

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«Je le vois, mais je ne le crois pas!» carta de Cantor a Dedekind de 1877-6-29, y «Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus.» (No le damos leyes al intelecto y a las cosas según nuestro arbitrio, sino que como escribas fieles anotamos y transcribimos las que anuncia y pronuncia la voz de la propia naturaleza.), que se reapropia a 1895 en Beiträge zur Begründung der transfiniten, proveniente de F. Bacon Scripta in naturali et universali philosophia 1685 (póstuma).

el logicismo de Frege (1884), la fenomenología de Husserl (1891)...

Y esto no es puramente anecdótico: cada una de estas filosofías viene asociada con un proyecto matemático distintivo que determinaba las líneas de investigación de la ciencia y encaminaba sus avances, rompiendo todas ellas con el paradigma kantiano, aun muy presente en, e.g., Hamilton on algebra as the science of pure time (1837), que desarrolla contrapuesta a la geometría como la ciencia de la intuición espacial.

De hecho, precisamente en la larga historia de la geometría puede verse muy bien como las preocupaciones y entendimientos de cada época la van moldeando, empezando por la concepción de Proclo (en su definición del quadrivium, y en referencia a Pitágoras) como el estudio de las magnitudes (entendidas originalmente como segmentos, áreas, volúmenes, ángulos y fracciones) en reposo. Cf. J. M. Parra L'Àlgebra vectorial. Una història que ens cal reescriure 1995 para un recorrido histórico de dicha noción.