De la matemática en Platón
De la matemática en Platón
«The safest general characterization of the European philosophical tradition is that it consists of a series of footnotes to Plato»
Whitehead Process and Reality (1929) II.1.1
Índice general
1 Del quadrivium
Cuando se enseña el símil de la línea (Politeia, VI, 509d–511e, c. 370 aC), que esquematizo a continuación:
- Doxa: opinión
- Eikasía: imaginación
- Pístis: creencia
- Episteme: conocimiento, ciencia, justificación (λόγου);1a menudo en contraposición a téknē.«μετὰ λόγου ἀληθῆ δόξαν ἐπιστήμην εἶναι» Platón Theaítētos 201d, c. 369. Por otra parte, no confundir con mathema, que también significa conocimiento, en el sentido de «algo que puede ser aprendido».
- Diánoia: razón discursiva como medio o método cognoscitivo
- Noésis: inteligencia como contenido o conocimiento dialéctico
suele identificarse a la diánoia con la matemática. No obstante, quiero recordar que en el frontispicio o pronaos de la Academia de Atenas fundada por Platón no se habla de matemática, sino de geometría: «Ἀγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτω».
Es cierto, sin embargo, que el término matemático (μαθηματικοὺς) comprendía la geometría, la aritmética y la astronomía (Platón Nómoi 817e, c. 356), y también la armonía (aka música) y la óptica (Aristóteles Physiká II.2 194a8, c. 335–323),
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de modo que terminaría deviniendo sinónimo de quadrivium cuando dicho término se acuñara por Boecio (c. 477–524 dC).Cf. Anthony Preus Historical Dictionary of Ancient Greek Philosophy 2007. Esto debería explicar, en particular, porque suele hablarse de «las matemáticas» en plural; el singular no vendría hasta Bourbaki.
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Puede verse como el término mantiene la inercia de su significado al transicionar a măthēmătĭcus en Perseus Project, donde citan Gellius, Noctes Atticae (c. 180 dC), 1.9.6.
Pero hemos de tener presente que los grandes logros de la matemática griega se dan en geometría, cuyos saberes se compendian en los Stoicheia de Euclides (c. 300 aC) y alcanzan su cenit en Koniká de Apolonio (c. 262–190), por lo que tiene todo el sentido que Platón la singularice en el pronaos como máxima expresión de la matemática de su época.
En comparación, la aritmética griega es paupérrima: sus sistemas de numeración (egeo c. 1500 aC, ático c. 700 y jónico c. 400) son completamente análogos al sumerio (c. 3100) y al egipcio (c. 3000), donde el jónico sigue vigente en la actualidad como una suerte de homologo a los números romanos del resto de Occidente. Ni siquiera la muy posterior Arithmeticá de Diofanto (250 dC), que no sería rescatada hasta Fermat (1601–1665), puede equipararse con su geometría, no pasando de ser una mera colección de problemas algebraicos sin un corpus teórico.
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De hecho, fuera de estas dos instancias, la aritmética ha sido tradicionalmente un mero instrumento para comerciantes, como queda constancia en el Liber Abaci (1202) de Fibonacci, cuya exportación de los guarismos indoarabigos es motivada sencillamente por su mayor practicidad y facilidad de uso. Huelga decir que las propiedades de la sucesión homónima no fueron estudiadas por él, sino primeramente por Lucas (1891).
Y en cuanto a su astronomía, voy a asumir que ésta fue, en el mejor de los casos, equiparable a la babilónica/caldea:
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Es cierto que con las conquistas de Alejandro Magno (322) su saber sería absorbido por los griegos, pero en época de Platón eso es mucho decir, incluso con intermediarios como Tales.
- Tablilla de Venus de Ammisaduqa 1650
- Primera revolución científica (800-600): estudio y registro de un sistema de creencias relativo al funcionamiento ideal de la naturaleza del mundo (proxy de teoría científica empírica), y empleo de una lógica interna para hacer predicciones del mundo con él.6Cabe matizar, sin embargo, que dicho sistema era utilizado de manera mecánica y dogmática, lo mismo que sus tablas pre-calculadas de multiplicación, recíprocos, etc.D. Brown, Mesopotamian Planetary Astronomy-Astrology (2000)
- Ángulos esféricos
- Análisis armónico para predicciones astronómicas 300 aC Neugebauer.7Lis Brack-Bernsen y Matthias Brack (2003), Analyzing shell structure from babylonian and modern times, International Journal of Modern Physics E.Sheila C. Dow (2005), Axioms and Babylonian thought: a reply, Journal of Post Keynesian Economics 27 (3), pp. 385–391.Giorgio Buccellati (1981), Wisdom and Not: The Case of Mesopotamia, Journal of the American Oriental Society 101 (1), pp. 35–47.
Aun con todo, conviene matizar y reiterar que dicha astronomía era poco más que astronometría, la cual es además común a la astrología, hasta el punto que dichas ramas no se distanciarían hasta la revolución científica iniciada con Copernico (Commentariolus 1514) y finalizada con Newton (Principia 1687).
En este sentido, puedo imaginarme que el término «matemático» debió ser muy práctico en tanto que abarcador de ambas, y de ahí, sospecho, que históricamente éste esté más ligado a ellas que a las otras ramas del quadrivium, lo que además sería coherente con el supradesarrollo de la geometría y el infradesarrollo de la aritmética.
Aunque no voy hacer una genealogía del término, sí voy a proveer tres evidencias anecdóticas de lo dicho, y voy a asumir por inercia que son representativas:
- Astrónomo (refiriéndose a Tales mirando las estrellas): Diógenes Laercio Βίοι (s. III dC) VI, Diógenes de Sínope, 5.
- Astrólogo: San Agustín de Hipona (354-430) De genesi ad litteram (c. 1150),82, XVII, 37. Cf. Jack Perry Augustine and the "mathematicians", Cantànima (2006-5-11).Datación de la copia manuscrita que nos ha llegado.
- Shorter Oxford English Dictionary (3rd edition): In Latin, and in English until around 1700, the term mathematics more commonly meant «astrology» (or sometimes «astronomy») rather than «mathematics»; the meaning gradually changed to its present one from about 1500 to 1800.
2 De la geometría
Sea como fuere, el caso es que su geometría de la regla y el compás —que resulta en una extensión de estrictamente contenida en , como dejan patente sus quebraderos de cabeza con los tres problemas clásicos y la inconmensurabilidad— vino a dominar toda la matemática posterior, que no empezaría a:
- superarse hasta la geometría analítica de Fermat y Descartes en 1637,9Aunque es interesante notar que se ha hipotetizado que los perdidos Pórismas de Euclides podrían contener una primera versión de ella. Igualmente relevante es el Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra de Jayam (1070).
- cuestionarse en sus contenidos hasta la geometría hiperbólica de Bolya, Lobachevsky y Gauss en 1820,
- y rechazarse en sus métodos (calificados de axiomática fenomenológica y descriptiva en lugar de formal) hasta el logicismo de Dedekind (carta a Lipschitz 1876-7-27), Hilbert y compañía.
Por otra parte, cabe recalcar que el sustrato de la matemática será la geometría hasta al menos el s. XVII incluido, no siendo completamente superada hasta el «no encontrará figuras en este trabajo» de Lagrange (Mécanique Analytique, 1788, prefacio), cuando el álgebra asume dicho rol sin depender de ella, y cuya transición se inicia con Fermat (1636), Pascal, Roberval y Wallis (Arithmetica Infinitorum, 1656) en los albores del cálculo infinitesimal.
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Ésta no sería, sin embargo, su última transición: en 1784 la Academia de Ciencias de Berlín ofrece 50 ducados a quien pueda dar un fundamentación más firme de la matemática, iniciándose el proceso de aritmetización del análisis con la noción de límite naive en d’Alembert (1754 Encyclopédie) y Cauchy (1821), y rigurosa en Bolzano (1817) y Weierstrass (a través de sus clases en Berlín durante el último tercio de siglo), así como la fundamentación de los reales en Dedekind (1872), quien iniciaría junto a Frege (1884) una nueva transición hacia la lógica en 1888.
Pues en efecto, la fundación del álgebra en Al–jabr (c. 820) y Jayam (c. 1070) se basaba en la geometría, de la que no empieza a emanciparse hasta L'Algebra de Bombelli (1572), síntesis de la revolución iniciada por Scipione del Ferro (1465–1526), y que seguía siendo vigente en tiempos de Leibniz (1646–1716), quien la usa para su educación, lo que es otra manera de decir que aún no se consideraba una rama fructífera o de interés.
Y lo mismo con el pre-cálculo de Eudoxo de Cnido (c. 390–337 aC) al que esencialmente aun se aferra Newton en sus Principia (1687), recordando a un Arquímedes (c. 288–212 aC, Méthodos) que usa la física como heurística pero acude a dicho método como garante.
En este sentido, no son de extrañar el «more geometrico» de Duns Scotus (1266–1308, De primo principio) o Spinoza (1677, Ethica more geometrico demonstrata), así como el «rigore geometrico» de Galileo, quien afirma:
«La filosofía [natural] está escrita en ese grandioso libro que tenemos abierto ante los ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.» Galileo, Il Saggiatore 6 (1623).11Similarmente, en Hobbes, De Corpore (1655), partes II y III, se identifica a la física con la geometría, mezclando libremente conceptos de ambas áreas.
3 De la matemática
No fue sino con la explosión matemática del s. XIX —y la madurez alcanzada con ella— que se formó su imagen actual, hasta el punto que buena parte de la materia troncal de la carrera bebe de esa época, y rara vez se va más allá del primer tercio del s. XX.
Más aún, el rechazo del formalismo por el formalismo desde Poincaré,
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el conocimiento de sus limitaciones desde Gödel (1931),Cf., e.g., Poincaré, La valeur de la science (1908): I.I L’Intuition et la Logique en mathématiques.
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el giro hacia una extensión no conservativa de ZFC con los universos de Grothendieck (SGA 4 1963), etc. parecen poner de manifiesto que la matemática no es una mera representación simbólica,Doblemente patente desde el forcing de Cohen (1963).
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del mismo modo que la filosofía no es una simple ristra de palabras,«Je n'ai pas le temps» de Galois a Chevalier (1832-5-29) vs «Je le vois, mais je ne le crois pas!» de Cantor a Dedekind (1877-6-29).
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sino que ambas tratan de describir una realidad ulterior.«Cada vez que un filosofo piensa, es un intento por tocar a la esquiva diosa de la verdad, a la que sólo a veces se llega a rozar» Parafraseado de un parafraseado de una fuente no recordada.
De hecho, V. I. Arnold lo expresa magníficamente en On teaching mathematics (1998) al defender que «Mathematics is the part of physics where experiments are cheap», donde además aporta el siguiente ejemplo que encuentro particularmente ilustrativo del sentimiento descrito:
What is a smooth manifold? In a recent American book I read that Poincaré was not acquainted with this (introduced by himself) notion and that the «modern» definition was only given by Veblen in the late 1920s: a manifold is a topological space which satisfies a long series of axioms.[...] Actually, in Poincaré's Analysis Situs [1895] there is an absolutely clear definition of a smooth manifold which is much more useful than the «abstract» one.[...]An «abstract» smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no «more abstract» finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition?
Similarmente, Javier Lorenzo escribe en Matemática y pensamiento (1976), 5:
...se muestra un mito respecto a la conceptuación de la «actual» Matemática: el que la ve como una mera formalización sin contenido, sin objeto conceptual alguno, mero conjunto de recetas formales, juego de símbolos abstracto y placer de la abstracción por la pura abstracción. [...]Así, en esta distorsión, se ha leído y trabajado a Bourbaki [...], pero sólo los Elementos, no los dos ensayos suyos [...]. Olvida que lo que importaba a este [...] no era el formalismo inscripcionista por el formalismo, sino la línea [de acción] de Dedekind, de Hilbert, de Poincaré, es decir, la que acentuaba la intuición y la imaginación creadora [...] surgen, en primera instancia, corno un trabajo puramente empírico...
A lo que yo me pregunto: ¿no consideraría Platón a la matemática actual como parte de la noésis? ¿O vamos a apelar ahora a la jerarquía de Chomsky para seguir diciendo condescendientemente que la matemática es la hermana menor de la filosofía?
4 De su perfección
En cuanto al origen de esta idea de que la perfección matemática es el sustrato de toda la realidad, hay que buscarla en un joven Pitágoras (c. 569–475) que debió sentirse fuertemente impresionado con su encuentro con Tales (623–548),
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llevándole a su identificación del número con el arjé,Cf. Jámblico (245–325) De vita pythagorica
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número que era pensado geometricamente mediante el uso de psiphi (guijarros) agrupados como números poligonales, como deja patente su tetraktys, si bien eventualmente el punto sería abstraído a el segmento, como es claro en Euclides.Cf. Aristóteles, Metaphysica A.I.5, 985b25, c. 350
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A este respecto, me tienta imaginar a Parménides (c. 515–450) inspirándose en Pitágoras para su definición del Ser, en el sentido en el que a veces se describe a la matemática como una gran tautología en la que todos sus resultados están contenidos en sus axiomas, no siendo más que distintas expresiones y desarrollos de los mismos, aunque ésta sería una lectura completamente anacrónica.
No obstante, una cosa es afirmar, como Alain Badiou (L’Être et l’Événement 1988), que la «ontologie et mathématiques», y otra muy distinta (y peligrosa) es dar el salto de la perfección de la matemática y sus ideas a la de las ideas provenientes del mundo empírico, pues aunque puedo hablar de arboles binarios perfectos en teoría de grafos, ¿tiene realmente sentido hablar de arboles perfectos en biología? ¿No supondría eso que ciertas especies de arboles son mejores que otras, cayendo en el especismo, racismo...? ¿En base a que criterio determinamos y discriminamos si una propiedad de un objeto es accidental o innata, un defecto o algo propio? Si lo innato es lo común a todos, nos encerramos en el estatismo, negamos el cambio evolutivo, a la vez que cargamos con sus vestigios; si inspirados por esto, decimos que aquello propio de los más aptos para su perpetuación, esto no es cognoscible hasta muchas generaciones posteriores, y carga con la contingencia del ecosistema;
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si, al fin, invocamos al presente y al término medio y lo mayoritario para cada una de las propiedades del objeto, corremos entonces el riesgo de que no haya ningún individuo cumpliendolas todas.Cf. MinuteEarth Which Bear Is Best? (2016-6-21), o la antología que lo incluye, Animal Winners and Losers (2020-6-15).
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Cf. Vsauce Some Surprising Things (2014-6-2), t=487
Es más, para empezar, ¿de verdad tenemos una idea de árbol perfecto, o es ese un significante sin significado y una expresión semánticamente vacía? Si no tiene máximo y ni siquiera es un cuerpo ordenado (lo que no significa que no puedan definirse ordenes, e.g., los lexicográficos), ¿por qué algo mucho más complejo como un árbol debería tener un orden canónico sobre el cual hay un máximo (o un supremo, si queremos relegarlo al mundo eidético)? Incluso aunque nos restringieramos a hablar de la perfección de ideas abstractas como el bien, ¿realmente puede la meta-ética por sí misma discriminar unas teorías de otras, o más bien sólo exponerlas y compararlas para que cada cual sea consciente de las limitaciones de sus propios valores?
De hecho, cuando decimos que algo es perfecto, ¿qué estamos queriendo decir realmente? No en balde, si aun desearamos aferrarnos a la idea de un gato y un árbol perfectos, ni que sea desde el descriptivismo lingüístico en una versión más naive que probablemente esté shifteando o delegando a conveniencia su significado hacia otros más tangibles como bello, grácil... (y que probablemente se podrían desgranar aun más, a la Locke), me costaría ahora encontrar algo común a todos ellos ante la escasez de ejemplos,
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dado que sus características resultan en un primer momento muy distintas. Y si dijéramos, e.g., que es perfecto si «no percibo fallos» o «no lo puedo imaginar mejor» (bajo cierto sistema de parámetros puesto por el sujeto), yo contestaría con el kintsugi para probar la susodicha subjetividad inherente en el juicio. Más aún, en el momento en que debilitamos así el término «perfecto», abrimos la puerta a muchas otras formas de perfección que ya no serían exclusivas de la razón pura (en contra de Platón), como la del movimiento planetario, la de un banquete o la de lo sublime de una pintura.Realmente hay muy pocas cosas sobre las cuales mayoritariamente vayamos a estar de acuerdo que lo son, lo que dificulta enormemente llegar por inducción a un noción totalizante. (recuerdo que, aunque Hume haya capado su poder, sigue siendo un herramienta útil, como deja claro la probabilidad bayesiana o Lewis Caroll Pillow Problems, 1887-9-8).
Lo más irónico de todo es que su metáfora de las sombras, que recuerda a Flatland (Abbott 1884) y es de por sí una observación lo suficientemente fascinante,
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sí sobrevive a todo lo dicho, pues aunque podemos imaginar realidades más abarcantes (que no necesariamente más complejas) a la nuestra conteniendola (como la teoría M y sus 11 dimensiones, respecto de ,A este respecto, me gustaría recordar la defensa del valor de las metáforas en Philosophy Tube Intro to Hegel (& Progressive Politics), III, t=429 (2018-4-27).
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la evolución, ecología, etología... a modo de estudios más amplios de las especies —en las que éstas pasan a ser puntos de un dataset—), ello no las hace mejores, como pone de manifiesto que también vayamos en el otro sentido (como en la concreción técnica de unos planos de ingeniería, resultados particulares de como el teorema del número poligonal de Fermat,«(all the analysis was, of course, complex, as it should be)» Arnold ib., pues aumentar el nivel de abstracción nos permite obviar los detalles que pueden molestarnos a la hora de ver y entender algunos aspectos generales de nuestro objeto de estudio original, alcanzando una big picture que a menudo simplifica ciertas demostraciones. Por su puesto, esto no significa que a veces no tengamos que bajar a ellos: «el diablo está en los detalles».
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métodos y técnicas contingentes al más puro estilo Erdös, u otros conjuntos, incluso triviales o degenerados, pues sería raro frasear propiedades exclusivas del número 2 como accidentes de 2, salvo que los consideremos para con . Y lo mismo con respecto a extensiones suyas (como dominios de integridad, íntegramente cerrados, MCD, de factorización única, de ideales principales...), salvo que tomemos como objeto de estudio a y queramos obviar todo lo que no sea propio de él.
En otras palabras, lo accidental y lo esencial no es inherente al objeto (e.g., a 2), sino que depende tanto del objeto como del marco de referencia (2 en tanto que 2 vs 2 en tanto que elemento de ).
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la especificidad de la bioquímica en el estudio interno de las especies). Y lo mismo aplica para la estética, como dejan patente las sombras chinescas, el pixel art, los demakes, la anamorfosis... Que más sea mejor es un axioma con el que podemos no comulgar, como explicita el minimalismo.O ciertas ramas de la matemática más dadas a ellos, como, quizá, la teoría de la aproximación funcional.
5 De la abstracción
En cuanto al origen de ese impulso hacia la abstracción, hay que buscarlo probablemente en Sócrates, como queda maravillosamente ilustrado en Hippías meízōn (c. 390), donde el primero interpreta literal y autistamente las respuestas poéticas y concretas del segundo a la pregunta «¿qué es lo bello?».
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Por completud, también puede darse dicha dualidad al enfrentarse a preguntas concretas, y sobre conceptos concretos, como «¿robo?», que pueden contestarse apelando a consecuencias a su vez concretas o bien a nociones abstractas de bien.
Sin embargo, teniendo en cuenta su actitud,
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y su usual aporía, no puedo culparle a él de la visión platónica, pues podemos imaginarnos fácilmente a Sócrates yendo en el sentido contrario ante respuestas demasiado etéreas, alegando que la abstracción es confusión y la concreción verdad, en una suerte de «I know it when I see it» (Stewart 1964) que recuerda a Wittgenstein, y que se hace eco del existencialismo fenomenológico de Nietzsche, Bergson y Klages.«junto a un caballo grande y noble pero un poco lento por su tamaño, y que necesita ser aguijoneado por una especie de tábano, según creo, el dios me ha colocado junto a la ciudad para una función semejante, y como tal, despertándoos, persuadiéndoos y reprochándoos uno a uno» Apología (399) 30e.
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