Luces y sombras en teoría de la justificación

De las demostraciones matemáticas

Luces y sombras en teoría de la justificación

Sogol Thamaem

«μετὰ λόγου ἀληθῆ δόξαν ἐπιστήμην εἶναι»

Πλάτων, Θεαίτητος (c. 369 aC), 201d,
antes de cuestionar por triplicado dicho λόγου (–210a)

«Der Wille zur verstandesmäßigen Wahrheit ist

der Wille zur Entwirklichung der Welt.»

L. Klages, Vom kosmogonischen Eros, 3a ed. (Jena, Diederichs, 1930),
padre del término «logozentrischen» (Rhythmen und Runen: Nachlaß, 1900, pp. 304–5) próximo al «ägypticismus» de Nietzsche (Götzen-Dämmerung: Die «Vernunft» in der Philosophie 1, 1889)

«My work always tried to unite the truth with the beautiful,

but when I had to choose one or the other,

I usually chose the beautiful.»

Freeman J. Dyson, Prof. Hermann Weyl, For.Mem.R.S. (1956), Nature (177)

A J. J. (Jota) O. F.,

a quien agradezco y debo estas reflexiones,

motivadas por un comentario suyo a 2020-2-11

1 Introducción

Dejando de lado el problema de Gettier (Is Justified True Belief Knowledge?, 1963) —que me recuerda al «two wrongs make a right», e.g., en Nova stereometria doliorum vinariorum (Kepler, 1615)—, o argumentos escépticos como el trilema de Agripa y el de Gorgias recogidos por Sexto Empírico (c. 160–210), así como la convulsa historia del problema de la demarcación (a cuyos autores he terminado recurriendo), lo que me gustaría apuntar aquí no es tanto si tales o cuales justificaciones tienen validez alguna (proyecto en el que ya hundiera sobradas horas antaño, empezando por Manifiesto escéptico, del 9/2010), sino si ésta es equivalente.

A principios del s. XX ya se produce una fuerte reacción ante la preponderancia de unas sobre otras impulsada por el positivismo, con pioneros de la fenomenología existencial como Nietzsche, Bergson y Klages —precedidos por Husserl y Kierkegaard en el desarrollo individual de estas corrientes, y sucedidos por Heidegger—, marcando el cisma analítico/continental (aunque sería más preciso situar éste en la disparidad de respuestas que levantó Hegel en su culminación del idealismo alemán). Sin embargo, se escapa a la intencionalidad de estas líneas repasar aquí sus numerosos ataques a ese logocentrismo occidental.

Por el contrario, mi autoimpuesto comedido cometido consistirá en ilustrar con variadas muestras de mi campo como argumentos no lógicos han intercedido en el «gold standard» del rigor: la demostración matemática.

2 De la pluralidad

2.1 de inteligencias

No es necesario apelar a la teoría de habilidades cognitivas de Catell–Horn–Carroll (estado del arte en [Gr05]) para dar cuenta de su variedad, por lo que no sorprende que distintas personas lleguen a mismos resultados por diferentes caminos, o que tengan mayor facilidad para recorrer unos más que otros, dando lugar a una miríada de concepciones de una misma noción, como queda perfectamente reflejado en [Th94, 2] y [HaTo11] a propósito de la continuidad y la completitud respectivamente. Veamos, aun así, algunos de estos distintivos estilos

2.1.1 Erdős

«When, 65 years ago, Erdős started his career, elementary methods were out of fashion. Today, this is even more so: the mathematical world is ruled by big theories straddling several branches of mathematics, and these big theories have had amazing successes, most notably the proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles. But Erdős believed that no matter how important shophisticated theories are, they cannot constitute all of mathematics. There are remarkably many natural questions in mathematics which one is unable to attack with sophisticated machines: rather than declaring that these problems are thereby uninteresting, we should be happy to answer them by whatever means. Erdős proved over and over again that elementary methods are frequently effective in attacking these 'untractable' problems, and that they often provide enlightening proofs of main–line results. Needless to say, an elementary proof need not be simple: often the opposite is the case.

[...] There was much hope that the ideas involved in the [elementary] proof [of the Prime Number Theorem] would penetrate and revolutionize number theory. Subsequent events showed that this hope was unfounded.

[...] Occasionally Erdős talked of The Book: a transfinite book whose pages contain all the theorems and their best possible proofs. Unfortunately, went on Erdős, The Book is held by God [Supreme Fascist in his jargon] who, being malicious towards us, only rarely allows us to catch a glimpse of a page. But when that happens, then we see mathematics in all its beauty.» [Bo98]

Sobre el comentario «often the opposite is the case», recalcar que he visto calificar algunas de sus pruebas de artificiosas por ello mismo, especialmente cuando involucran fuertes dosis de combinatoria o «números mágicos» (en el sentido informático: valores inexplicados —que aparecen sin motivación— dando una solución ad hoc); ese es el coste de su accesibilidad, comparable a la del mortero (valle del Indo, 6500 aC) frente a la prensa hidráulica (Bramah, 1795) o el microlitismo geométrico para hoces (Kebaran, 18000 aC) frente a la cosechadora (Moore, 1835). Para un estado del arte comparando métodos elementales y analíticos en teoría de números, cf. [Di82].

La frase «rather than declaring that these problems are thereby uninteresting» devendrá particularmente relevante en 2.3, y «they often provide enlightening proofs» en 2.2.2. Por último, y de cara a 2.2.4, notar que en [Bo98] se recogen algunas demostraciones catalogadas por Erdős como «de El Libro», así como variantes, y lo mismo con Proofs from THE BOOK (1998, Aigner y Ziegler).

2.1.2 al–Jwārizmī

Si bien de su tratado Al–jabr (c. 820) deriva el término «álgebra», su resolución de la ecuación cuadrática es eminentemente geométrica, por completación de cuadrados, y mismamente con la cúbica en Omar Jayam (c. 1070), mediante la intersección de cónicas.

Es cierto que durante buena parte de la historia de la matemática se ha limitado su avance imponiendo arbitrarias restricciones como el horror vacui apelando a su carencia de sentido físico (cf., e.g., mi Historia, autoría y matemática), pero ello no significa que debamos renunciar a dicha interpretación cuando la tenga, sentimiento compartido y promovido en canales de YouTube como Think Twice y 3Blue1Brown (e.g., en su serie Essence of linear algebra).

2.1.3 Arquímedes

Por supuesto, el «sentido físico» no se limita a lo visual, explotando Arquímedes (c. 288–212 aC) la intuición cinética en su El método de los teoremas mecánicos para vislumbrar relaciones entre áreas o volúmenes vía la ley de la palanca, o Newton en sus Principia (1687) para la construcción del cálculo.

Un ejemplo más moderno de este cantar es The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems (2009) de Mark Levi, del que tuve constancia gracias a The Brachistochrone, with Steven Strogatz de 3Blue1Brown.

2.1.4 Boole

Aunque incluso afectados por afantasía, acinetopsia... y desprovistos de dichos símiles todavía podemos cruzar los más áridos desiertos de la mano del formalismo, entendiendo la matemática como un juego (en el sentido de Wittgenstein) de manipulación de símbolos sin significado que acatan unas ciertas reglas, proyecto particularmente representado por el colectivo Bourbaki, cuyo estilo terminaría permeando en toda la academia, considerando por ello su experimento un éxito a pesar de su discontinuidad, debida a su perdida de relevancia con el auge de la teoría de categorías (Eilenberg y Mac Lane, 1945; gana tracción con Grothendieck, 1957–68; popularizada con Categories for the Working Mathematician, 1971) mientras persistían en su fundamentación sobre teoría de conjuntos (Théorie des ensembles en Fascicule de résultats, 1939), esquizofrenia especialmente hiriente en Algèbre homologique (1980).

«The validity of the processes of analysis does not depend upon the interpretation of the symbols which are employed, buy solely upon the laws of their combination.» Boole, The Mathematical Analysis of Logic (1847)

«Man analysire alle Annahmen, sowohl die ausdrücklich als die stillschweigend gemachten, auf welchen das gesammte Gebäude der Geometrie Euklid's beruht, man gebe die Wahrheit aller seiner Sätze, die Ausführbarkeit aller seiner Constructionen zu (eine untrügliche Methode einer solchen Analyse besteht für mich darin, alle Kunstausdrücke durch beliebige neu erfundene (bisher sinnlose) Worte zu ersetzen, das Gebäude darf, wenn es richtig construirt ist, dadurch nicht einstürzen, und ich behaupte z. B., daß meine Theorie der reellen Zahlen diese Probe aushält)» [Ded32, LXV], carta de Dedekind a Lipschitz del 1876-7-27

In einem Berliner Wartesaal diskutierte er mit zwei Geometern (wenn ich nicht irre, A. Schoenflies und E. Kötter) über die Axiomatik der Geometrie und gab seiner Auffassung das ihm eigentümliche scharfe Gepräge durch den Ausspruch: «Man muß jederzeit an Stelle von 'Punkte, Geraden, Ebenen' 'Tische, Stühle, Bierseidel' sagen können». Seine Einstellung, daß das anschauliche Substrat der geometrischen Begriffe mathematisch belanglos sei und nur ihre Verknüpfung durch die Axiome in Betracht komme, war also damals bereits fertig. [Hi70, Lebensgeschichte, pp. 388-429], Hilbert volviendo de la conferencia «Grundlagen und Aufbau der Geometrie» de H. Wiener (1891, Naturforscher–Versammlung, Halle)

«Les mathématiciens ont toujours été persuadés qu’ils démontrent des 'vérités' ou des 'propositions vraies', une telle conviction ne peut évidemment être que sentimentale ou métaphysique, et ce n’est pas en se plaçant sur le terrain de la mathématique qu’on peut la justifier, ni même lui donner un sens qui n’en fasse pas une tautologie. L’histoire du concept de vérité en mathématique relève donc de l'histoire de la philosophie et non de celle des mathématiques» Bourbaki, Élements d’histoire des mathématiques: Théorie des ensembles: La notion de vérité en mathématique (1960)

2.2 de finalidades

Indiferentemente de las capacidades que se tengan para abordar los problemas de una manera u otra, podemos decantarnos hacia un estilo particular por teleología, como se examina en [Vi90]: ¿cual es el target u objetivo de mi redacción?

2.2.1 Heurística

Sería demasiado fácil citar a Pólya o su How to Solve It (1945) —salvo por la dificultad de saber donde cortar—, y demasiado obvio poner ejemplos en los que, partiendo de una premisa intuitiva pero falsa, se llega por ensayo y error a una más refinada y, eventualmente, cierta —salvo por el engorro de recopilarlos y exponerlos, y la redundancia de hacerlo habiendo ya 3Blue1Brown—, por lo que, recordando los tres puntos anteriores, me voy a remitir a:

«Nous avons donc plusieurs sortes d’intuitions; d’abord, l’appel aux sens et à l’imagination; ensuite, la généralisation par induction, calquée, pour ainsi dire, sur les procédés des sciences expérimentales; nous avons enfin l’intuition du nombre pur, celle d’où est sorti le second des axiomes que j’énonçais tout à l’heure [raisonnement par récurrence] et qui peut engendrer le véritable raisonnement mathématique.»

Poincaré, La valeur de la science (1908): I.I L’Intuition et la Logique en mathématiques: III, donde elabora sobre su importancia para la invención, aunque sólo la tercera valga para la verificación, regalándonos en su exposición variados ejemplos de su tiempo

«Although we think that the average mathematician will find that a study of symbolic logic is very helpful in carrying out mathematical reasoning, we do not recommend that he should completely abandon his intuitive methods of reasoning for exclusively formal methods. Rather, he should consider the formal methods as a supplement to his intuitive methods to provide mechanical checks of critical points, and to provide the assistance of symbolic operations in complex situations, and to increase his precision and generality. He should not forget that his intuition is the final authority.»

J. B. Rosser, Logic for mathematicians (1953), que describe la axiomática NF, concebida como simplificación de la teoría de tipos de los Principia de Russell y Whitehead (1913), que pretendían culminar el proyecto logicista iniciado por Frege (Grundgesetze, 1893, minado por la paradoja de Russell en 1902) y socavado por los teoremas de incompletitud de Gödel (1931)

2.2.2 Rigor: revolución y constructo

Sin necesidad de repasar The Structure of Scientific Revolutions (Kuhn, 1962) —cf. [Lo98, Kl91] para una fuente más específica—, merece la pena reincidir ahora en la otra cara de la moneda, y el cambio de paradigma que supuso la escuela formalista respecto a la axiomática euclídea, lo que no sólo aseguraba la firmeza de los nuevos conocimientos, sino que encumbraba a la demostración como un fin en sí mismo y no un mero medio, deviniendo una herramienta más de descubrimiento, como refiere [Th94, 6] o incluso el Poincaré de arriba.

Así, se pasaba del «Je n'ai pas le temps» de Galois a Chevalier (1832-5-29), padre de la teoría de grupos y la epónima —que no serían asimiladas hasta Noether a través de Dedekind—, al «Je le vois, mais je ne le crois pas!» de Cantor a Dedekind (1877-6-29), padres de la teoría de conjuntos; i.e., de considerarlas comprobaciones de corrección de las intuiciones de cara a las instituciones, a un instrumento generador de elementos imprevistos, como lo fueron las funciones patológicas también citadas en Poincaré.

Más aún, esta reconstrucción del edificio matemático, que pasaría a ser continua con el influjo de las sucesivas modas (cf. 2.2.6) y su revisionismo asociado (tanto en forma y contenido), volverá recurrente afirmaciones como las siguientes:

«It is often the case that important theorems become definitions with the passage of time.» (Bleecker, Critical Mappings of Riemannian Manifolds, 1972)

«Old theorems never die; they turn into definitions» (atribuido a Edwin Hewitt en: Herrlich y Strecker, Category theory: an introduction, 1973)

«the old French trick of turning a theorem into a definition» (Raoul Bott?)

con conversiones como

de las propiedades básicas de la distancia euclídea, $Z$ , $Q$ ... a la definición de espacio métrico, grupo, cuerpo...
del teorema de Heine–Borel a la definición de compacto
del teorema de integración por partes a la definición de Schwarz de derivada de una distribución
de la «homotopy lifting property» a la definición de «fibration» de Serre

abstracciones cuya importancia no debe desestimarse, como se enfatiza al final de [Th94, 3], equiparables a la revolución simbólica descrita en [Kl91, 3]: «The discovery of new results was often a consequence of the intimate relation between content and form that a good notation frequently implies», siendo el caso de Leibniz su mejor exponente, al que se sigue apelando en teoremas tan modernos como el de Radon–Nikodym, 1913-1930.

No en balde, el objetivo último de cuantos trabajan en su construcción es el estudio de entidades matemáticas (expresadas, e.g., en definiciones axiomáticas como la de conjunto) en función de otras (como la grupo, espacio topológico...), y así sucesivamente (como en los axiomas de separación T1, T2... de los segundos, o las nociones de cerrado, sucesión... en las que se basan), por lo que ellas, y los teoremas que las relacionan, cobran su importancia en la medida que el framing que ofrecen (en la conformación de una teoría) resulta útil y esclarecedor (entre otros motivos, cf.[Vi90, 2.3]), siendo reciclados y reformulados con el tiempo en función de las nuevas modas (e.g., pasando del conjunto a la categoría, de la función a la distribución y el functor), como explora Lakatos a propósito de la característica de Euler en Proofs and Refutations (1976).

Es exactamente este sentimiento el que se recoge en comentarios como:

«We may say, roughly, that a mathematical idea is 'significant' if it can be connected, in a natural and illuminating way, with a large complex of other mathematical ideas.» (Hardy, A Mathematician’s Apology: 11, 1940; obra relevante para 2.2.4)

«We often hear that mathematics consists mainly of proving theorems. Is a writer's job mainly that of writing sentences?» (Gian–Carlo Rota, en la introducción de: Davis y Hersh, The Mathematical Experience, 1981)

«The product of mathematics is clarity and understanding. Not theorems, by themselves. Is there, for example any real reason that even such famous results as Fermat's Last Theorem, or the Poincaré conjecture, really matter? Their real importance is not in their specific statements, but their role in challenging our understanding, presenting challenges that led to mathematical developments that increased our understanding.» [Th10]

«Wenn ich die Arithmetik mit einem Baume vergleiche, der sich oben in eine Mannichfaltigkeit von Methoden und Lehrsätzen entfaltet, während die Wurzel in die Tiefe strebt,» (Frege, Grundgesetze der Arithmetik, 1893, p. xiii)

y es ese framing precisamente el que ha trivializado resultados antaño tediosos en «one–line proofs»:

el pequeño teorema de Fermat vía la función $φ$ de Euler (cf. Wikipedia, Proofs of Fermat's little theorem, para un recuento de sus variadas pruebas)
el teorema fundamental de la teoría de Galois vía el endomorfismo de Frobenius
la invarianza de homologías bajo homotopías vía la noción de homología singular

y de ahí que la exposición de una teoría pueda variar mucho según época e incluso autor, como se suele hacer notar, e.g., respecto a Carlos Ivorra, o como sufrí con Curs d'àlgebra (07-08) de Artur Travesa, que nada tuvo que ver con el curso anterior y posterior.

Por citar un caso más concreto, en la asignatura de Análisis Matemático impartida por Carro (transcripción propia online) se demostraba la existencia de raíces

n

-ésimas comprobando que

E = {t > 0 : t^{n} < x}

tiene supremo (verificando que es acotado no vacío) y que éste elevado a

n

no era ni menor ni mayor a

x

; dicha existencia puede demostrarse trivialmente por Bolzano (resultado equivalente a que los intervalos son conexos), pero la finalidad de dicho ejercicio puramente académico era familiarizarnos con dichas herramientas, y lo mismo puede decirse de un razonamiento por casos para la desigualdad triangular en vez de vía

{| x |}^{2} = x^{2}

. Por citar un ejemplo más exótico, el forcing de Cohen, originalmente utilizado para probar la independencia de C en ZF (1963), ha resultado ser una técnica utilísima para establecer otros resultados de consistencia e independencia.

No obstante, todo ello no quita que la demostración siga manteniendo su rol de persuasión, como dejan constancia:

El teorema de las esferas de Kepler: T. Hales la demuestra por casos computacionalmente en 1998, y mediante los asistentes de pruebas Isabelle y HOL Light en 2014. Aun así, en un encuentro de 2004 de la Royal Society intitulado «What is the nature of proof?» referido por D. Lipton en The Four Color Theorem (2009), tras una charla de MacPherson a propósito de la misma, Aschbacher, Atiyah, Cohen y Serre discutieron en su contra: « Their main point, stated strongly by Cohen, was that proofs were not to check that something is true. Rather the role of proof is to give insight into the problem at hand. A humanly understand proof can lead to additional insights, can open up new avenues of discovery. That is missing, in their opinion, in any proof that is not understandable.», en clara contraposición con el QED manifesto (1994).
El teorema de los cuatro colores: Appel y Haken reducen el problema a comprobar que 1834 grafos inevitables son reducibles en 1976 siguiendo ideas de 4 generaciones previas de matemáticos (incluyendo, e.g., a Heesch), proceso que se hace computacionalmente. En 1989 se publica la versión definitiva, con algunas correcciones y simplificaciones. En 1996 Robertson, Sanders, Seymour y Thomas simplifican la demostración, evitando ciertos argumentos técnicos particularmente obtusos y reduciendo el número de grafos a 633 así como su complejidad computacional. En 2005, Werner y Gonthier formalizan la demostración en el asistente de pruebas Coq. Huelga decir que se sigue trabajando en una versión humanamente entendible, como deja constancia el artículo arriba citado de Lipton, o que se siguen abordando problemas computacionalmente como punto intermedio (cf., e.g., Konev y Lisitsa, A SAT Attack on the Erdos Discrepancy Conjecture, 2014).
La controversia entorno a la presunta prueba de la conjetura abc de Mochizuki a 8/2012 (cerrada a 8/2018 por Scholze y Stix en Why abc is still a conjecture), que Cathy O’Neil señalo como ejemplo de su postura «proof is a social construct». Para un examen más en detalle sobre ésta, ver [Vi90, MiLiPe79], donde también se reflexiona sobre el futuro de las demostraciones automáticas de teoremas, y [Th94, 4], que además describe la naturaleza rápidamente cambiante del paisaje matemático (i.e., el fenómeno al que me he referido como «modas»).
El teorema de clasificación de grupos simples: en 1972 Gorenstein delinea un programa para establecerlo, que da por concluido en 1983 a falta del caso de los grupos «quasithin» (concluido a 2004, con corrección a 2008), quedando la prueba esparcida en decenas de miles de páginas de múltiples artículos de entorno a 100 autores principalmente comprendidos entre 1955 y 2004. A 1994 Gorenstein inicia la publicación ordenada de una revisión de la misma (aun incompleta a 2018, con 8 volúmenes, y una estimación de 5000 páginas), y a 2004 Aschbacher («The Status of the Classification of the Finite Simple Groups») habla de 3a generación en referencia a nuevos métodos. Coherentemente con lo dicho en el primer punto, Serre declara al respecto en [Se86]: «What shall one do with such theorems, if one has to use them? Accept them on faith? Probably. But it is not a very comfortable situation.»
Las críticas del intuicionismo al formalismo, que exige demostraciones constructivas finitarias (a propósito de las cuales Manin declara la existencia de «degrees of proofness», cf. [Kl91, 7]), y que ha resurgido con Bishop y su estrecha relación con el cálculo lambda tipado, la teoría de topos y la lógica categórica, recordándome a la Oulipo y su creación por restricción.

«One of the gags circulating when the original proof of the four color theorem was published was: 'A good mathematical proof is like a poem —this is a telephone directory!' Personally speaking, I would rather trust a telephone directory when it comes to getting facts right. When it comes to combining those facts to generate an informative overall picture, however, I would put my faith in the poet to provide crystal–clear view of the otherwise unfathomable.» (Fisher, Crashes, Crises, and Calamities, 2011)

2.2.3 Consulta: sistematización

Respecto a dicha guía telefónica, y sin remontarme al nacimiento de la escritura como mero aide–mémoire, apreciamos dicho aspecto en los Elementos de Euclides (c. 300 aC), que aun siendo a menudo considerados como el origen del estilo axiomático, parten en verdad de definiciones intuitivas o fenomenológicas y caen en demostraciones circulares o frágiles, como fuera duramente criticado por la escuela formalista arriba citada.

Así, estos pasan a ser más bien una recapitulación ordenada (y por ende más fácil de aprender, referenciar, expandir...) de todo el saber de la época, como pudieran serlo después L'Algebra de Bombelli (1572) o los Élements de Bourbaki (1939–). Ejemplos quizá más focalizados de ese carácter enciclopédico son Counterexamples in Topology (1970, Steen y Seebach) o Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium (2002, Johnstone), que S. Awodoy renombra «Principia Toposophica».

2.2.4 Estética

Fijando ahora la mirada en su aspecto más lírico, aunque podría recopilar más citas semejantes al epígrafe de Weyl (e.g., «Je ne cherche presque plus rien en géométrie que l'art de trouver d'abord les belles constructions.», carta de Leibniz a Galloys del 12/1678), lo siguiente será más ilustrativo:

«Copernicus’ arguments are not pragmatic. They appeal, if at all, not to the utilitarian sense of the practising astronomer but to his aesthetic sense and to that alone.» (Kuhn, The Copernican Revolution, 1957).

«las observaciones de Galileo confirman tanto un sistema heliocéntrico como uno de Ptolomeo modificado o el sistema de Tycho. Desde un punto de vista estrictamente técnico, con los conocimientos existentes a comienzos del XVII, la opción de Galileo por un sistema heliocéntrico era instintiva, estética, si se quiere, pero no estrictamente racional. Recordemos que el sistema de Copérnico no eliminaba el uso de epiciclos (véase Perspectivas) y, si bien facilitaba los cálculos, seguía siendo muy complejo, y nada simple.

Esta es una magnífica ilustración de una parte de la tesis de Duhem–Quine (la subdeterminación de las teorías científicas): es típico en ciencia que nuevas pruebas, incluso nuevas pruebas espectaculares como la existencia de las fases de Venus, sean compatibles con al menos dos hipótesis existentes, o, lo que es lo mismo, las pruebas disponibles no determinan unívocamente qué teoría en concreto es la correcta.» (C. S. López , Galileo vs. Iglesia Católica redux (IV): Venus, 2013)

Quizá más flagrante sea el siguiente caso, desenterrado por otro prominente autor del problema de la demarcación (Feyerabend, Against Method, 1975):

«But the great growth in technical achievement which began in the nineteenth century left scientific knowledge far behind. The multitudinous problems of practice could not be answered by the hydrodynamics of Euler; they could not even be discussed. This was chiefly because, starting from Euler's equations of motion, the science had become more and more a purely academic analysis of the hypothetical frictionless 'ideal fluid'. This theoretical development is associated with the names of Helmholtz, Kelvin, Lamb, and Rayleigh.

The analytical results obtained by means of this so–called 'classical hydrodynamics' usually do not agree at all with the practical phenomena. To such extremely important questions as the magnitude of the pressure drop in pipes, or the resistance of a body moving through the fluid, theoretical hydrodynamics can only answer that both pressure drop and resistance are zero! Hydrodynamics thus has little significance for the engineer because of the great mathematical knowledge required for an understanding of it and the negligible possibility of applying its results. Therefore the engineers — such as Bernoulli, Hagen, Weissbach, Darcy, Bazin, and Boussinesq — put their trust in a mass of empirical data collectively known as the 'science of hydraulics', a branch of knowledge which grew more and more unlike hydrodynamics.» (Tietjens, Fundamentals Of Hydro And Aeromechanics: Introduction: Historical remarks, 1934; basado en lecciones de Prandtl)

De hecho, parte del atractivo de las idealizaciones y «toy–models» es que nos permiten acceder más fácilmente a nuestros instintos, que no dejan de ser atajos que el cerebro a desarrollado con el tiempo, ya sea a nivel evolutivo (como dejan entrever las etapas de desarrollo cognitivo de Piaget, así como los sesgos cognitivos tan reivindicados por Kahneman) o personal (con la interiorización y familiarización de un cuerpo teórico, lo que también puede llevar a la indefensión aprendida), para bien o para mal, como vienen a reflejar respectivamente los citados eventos.

En este sentido, hasta podría reformularse la navaja de Occam cambiando simplicidad por belleza, o el principio antropico final (Tipler y Barrow, The Anthropic Cosmological Principle, 1986) sustituyendo «intelligent information–processing» por «beauty–seeking».

«If you google, you will see lots of different proofs: You will see a proof in plane geometry —which is beautiful, but very tricky to come up with—, you can see technical proofs using trigonometry —ugh, who likes those?—, or using even complex numbers —very sophisticated—. But none of these approaches really shows the true elegance and simplicity of Ptolemy's Theorem; none of them shows you why it is really true.»

A Miraculous Proof (Ptolemy's Theorem) - Numberphile ft. Zvezdelina Stankova, también disponible en: A Decade of the Berkeley Math Circle I: Session 1, 2008

2.2.5 Recreativa

«As far as I'm aware, there's no point to this: this is... I said, I found this on The Pi-Search Page, it's recreational maths. But then, it does lead to quite a deep question: the patterns of numbers within the expansion of $π$ . So whilst, even if we were able to answer that question it probably wouldn't tell us much about $π$ itself, but the methods and the techniques you're going to use to do such a proof are going to probably be brand new and lead to all kinds of other awesome stuff.

It's like the classic case of, you know, trying to climb a particular peak: there's not really that much at the peak, but it's everything... all the other peaks you scale to get to that one, it's all the new stuff you discover then has all these other amazing uses. And loads of really big results in maths come from recreation, playing around with numbers, this kind of thing.»

Strings and Loops within Pi - Numberphile ft. Tom Crawford

El nacimiento de la teoría de números por parte de Fermat, jurista de profesión, es paradigmático, y más aun su teorema epónimo (1637), demostrado por Wiles en 1995 vía un caso particular de la conjetura de Taniyama–Shimura, que se enmarca en el aun abierto programa de Langlands (1967), descrito por E. Frenkel como «a kind of grand unified theory of mathematics» (para un recorrido histórico de esta aventura, cf. Simon Singh, El enigma de Fermat, 1997).

Retomando [Th10], «How and whether specific mathematics might lead to improving the world (whatever that means) is usually impossible to tease out», maravillosamente ejemplificado en la apología de Hardy a la inutilidad de la teoría números antes de la llegada de la criptografía. Más en general, y como ilustra perfectamente el Turing–completo The Game of Life de Conway (1970), puede generarse gran complejidad a partir de ideas y reglas muy sencillas; tal es la magnitud de las propiedades emergentes de una pregunta bien formulada.

Otro caso curioso, que aúna las similitudes de este punto con el anterior, es el del origami, axiomatizado a 1986, capaz de resolver dos de los tres problemas clásicos de la geometría griega mediante regla y compás, y con aplicaciones en multitud de campos (cf. Veritasium, Engineering with Origami, 2019-10-4).

2.2.6 Moda

Recuperando brevemente este fleco, voy a limitarme a enumerar algunas escuelas filosóficas (con mayor o menor impacto en la practica matemática):

Intuicionismo/constructivismo de Kronecker, Brouwer, Bishop...
Formalismo de Dedekind, un primer Cantor, Peano, Zermelo, Couturat, Hilbert...
- Inscripcionismo precedente de Hankel, Heine, Thomae, Poincaré...
Logicismo de Frege
Realismo trascendente (aka platonismo) de un segundo Cantor
Cuasi–empirismo: demostraciones computacionales y probabilísticas, cf. [Kl91, 8]

En referencia a la primera, es interesante notar que hay matemáticas fuera la lógica clásica (intuicionista, plurivalente, modal, paraconsistente, no–monotónica, no–reflexiva...). Y respecto a la segunda, que pueden existir muchas axiomáticas (ZF, ZFC, NBG, MK, NF, TG...). Aun con todo, ninguno de estos listados termina de describir la continua reconstrucción referida, probablemente mejor reflejada en recuentos históricos, de los que creo haber citado suficientes.

«Few mathematical structures have undergone as many revisions or have been presented in as many guises as the real numbers. Every generation reexamines the reals in the light of its values and mathematical objectives.» (Faltin, Metropolis, Ross y Rota, The real numbers as a wreath product: Introduction, 1975).

2.2.7 Didáctica y divulgativa

Recordando [Vi90, Ga08], y como insistiré en la conclusión, todos los puntos anteriores son relevantes para este propósito, y este ha motivado a su vez importantes avances, como la tabla periodo de Mendeléyev (1869) o la aritmetización del análisis de Cauchy–Weierstrass (cf. [Kl91, 4]), sin olvidar su papel en la captación de talento, por lo que no voy a incidir más en ello.

2.3 de entornos

A veces no somos el motor de nuestro movimiento, ni tenemos un objetivo predeterminado, sino que somos arrastrados por fuerzas externas, razón por la que, nuevamente, seré muy breve aquí: la elección de un sujeto de estudio, la disposición a aceptar o no ciertos tipos de demostraciones, la validez que se asignan a ciertas intuiciones y analogías, las metáforas que constituyen un isomorfismo (e.g., la topología como la geometría del chicle), las subvenciones, el tamaño y peso de la red de colaboración de un individuo... dependen de las circunstancias particulares de cada uno, pero en su conjunto modelan nuestra exploración del paisaje matemático.

De ahí, e.g., la importancia de crear escuela, como refiere [Th94, 6], también ejemplificado en el teorema de Sharkovskii (Co–existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself, 1964), que pasa desapercibido hasta que Yorke y Li ponen en relieve, de manera independiente, un caso particular suyo (Period Three Implies Chaos, 1975).

De ahí también la dificultad de romper la inercia de la tradición, incluso aunque sea por una precedente, como intento Robinson con su Non–standard Analysis (1966): rememorando 2.2.4, la costumbre facilita el razonamiento, la detección de caminos muertos y fallas.

«In short, mathematics only exists in a living community of mathematicians that spreads understanding and breaths life into ideas both old and new» [Th10]

3 Conclusión

Aunque la enumeración diste de ser exhaustiva, me conformaré con dicho esbozo, que sólo pretende ilustrar el interés subyacente en esgrimir un argumento por el atractivo de su carácter elemental (Erdős), visual (al–Jwārizmī), cinético (Arquímedes), formal (Boole), heurístico (Pólya), revolucionario (Dedekind), revisionista (Eilenberg y Mac Lane), notacional (Leibniz), omnipotente (Cohen), cuasi–empirico (Appel y Haken), social (Gorenstein), constructivo (Bishop), consultivo (Euclides), estético (Copernico), recreativo (Fermat), didáctico (Cauchy), tradicionalista (Robinson)... admitiendo, como sugiere el cuarto de Mary (Epiphenomenal Qualia, 1982), que, del mismo modo que la experiencia sensorial del color aporta una nueva dimensión a una comprensión meramente fisicalista del mismo en el clínico lenguaje de la física, también la experiencia de las susodichas facetas de un hecho pueden expandir un entendimiento reduccionista basado únicamente en la lógica, incluso flaqueando en, o careciendo de, ella: «Analogy pervades all our thinking, our everyday speech and our trivial conclusions as well as artistic ways of expression and the highest scientific achievements.» (Pólya, How to solve it, 1945).

Resulta también interesante reconocer las limitaciones de la lógica clásica (como sugieren sus alternativas, cf. 2.2.6) y, más en general, cualquier ciencia formal (como notaba el Poincaré citado en heurística) mientras vivamos en la contingencia de un mundo físico, especialmente teniendo en cuenta que ésta ha sido fundada, y es aplicada, por seres nacidos de dicha contingencia.

Mismamente, uno podría creer, llegado hasta aquí, que mi lógica no le ha convencido, o quizá todo lo contrario, mas quiero remarcar que el estilo expositivo y expresivo escogido, su forma, su pomposidad, las citas a autoridades competentes en su fuente original... y no sólo su lógica, han formado parte de mi argumento.

También se podría reprochar todo lo contrario: que ha sido únicamente mi lógica la que ha sometido su razón, más ello seguiría sin invalidar mi punto. Ya Wittgenstein en su Tractatus (1921) limitara el alcance de la lógica con lógica, y creo haber dejado claro que distintas personas necesitan ser convencidas por variados medios.