Conversaciones con T: Miopías en el debate del punto y la recta (del qué precede a qué)

A propósito de un hilo de Discord del 23/10/2021.

1 Una falsa dicotomía

¿La construcción humana del concepto «recta»

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Aunque voy a hablar de rectas, planos y volúmenes por simplicidad, puede pensarse en curvas, superficies y variedades en general, siguiendo la jerga de la geometría diferencial.

es necesariamente anterior al punto matemático,

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O en otras palabras, tienes que conocer la recta para saber lo que es el punto, pues un punto no es nada en sí mismo.

o viceversa? Pues a mi juicio, la pregunta está mal formulada, pues no hay una construcción singular, única y preeminente («la construcción») de ninguno de los dos, por lo que tampoco tiene sentido el «es necesariamente». Por el contrario, se pueden dar diferentes construcciones de punto que sean anteriores (recta como espacio generado por dos puntos distintos),

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Aunque el fraseado bebe del álgebra lineal (donde un punto no es más que una tupla de números, que pueden ser perfectamente los naturales, de los cuales tenemos experiencia directa, por lo que ya no serían una abstracción matemática), en su esencia está (o apunta a lo mismo que) la definición de Euclides (donde un punto es lo que no tiene partes, como ocurre con los números, que son entidades adimensionales). (Por su puesto, también se puede pensar punto como elemento de un conjunto, en especial si dicho conjunto viene equipado con cierta álgebra que le confiera la categoría de geometría o espacio, pero en general esta acepción me parece demasiado alejada del debate en tanto que de ella no se deriva en general un concepto de recta.)

posteriores (punto como intersección de rectas distintas)

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Donde, a su vez, una recta sería una intersección de planos distintos, y estos el resultado de la frontera entre volúmenes contiguos (que no meramente tangentes), los cuales, argumentablemente, ya no serían una abstracción matemática, pues tenemos de ellos acceso sensible directo.

Para otra posible construcción, no muy ortodoxa a mi juicio, piénsese en la división en dos ad infinitum de un segmento, obteniendo el punto como límite del proceso.

o paralela (como creo que pone de manifiesto la necesidad de un teorema relativo a la biyección entre recta y número)

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C.f., e.g., Valeriano Zorio Blanco Teorema relativo a la biyección entre el conjunto de números reales y el conjunto de los puntos de una rectas 1972. Aunque la referencia no me gusta mucho (al menos no para ilustrar esta posición), por lo menos sí aclara el sentido de mi frase (particularmente si quién lee no tiene formación matemática). Sí, es cierto que en ella se pone más bien en cuestión mi afirmación anterior de que número y punto sean tan fácilmente intercambiables. Sin embargo, insisto, si nos restringimos a los números naturales (o, incluso, a un subconjunto suyo, como $\{1,2,3\}$, lo que es más que suficiente para la construcción del concepto de punto y recta), creo que se podría llegar a hacer una lectura caritativa de mi justificación, aunque no vaya a poner la mano en el fuego por ella, en parte porque la siguiente sección ya justifica esta tesis por otros medios, en parte porque leer al número $1$ en calidad de punto como la 1-tupla $\left(1\right)$ es en cierto modo embeberlo en la recta (i.e., reinterpretarlo en el contexto de una recta previa), de modo que la equivalencia número-recta requeriría, como era de esperar, de la precedencia de al menos estos dos conceptos.

Por aclarar esto último, que parece sepultar mi «creo que se podría llegar a hacer una lectura caritativa de mi justificación», quiero notar que la precedencia de la recta se da aquí porque el teorema justo busca trazar esa equivalencia. Sin embargo, lo que yo estoy tratando de señalar como posibilidad con todo esto es que: si el número $1$ se puede reinterpretar como punto en el marco de referencia de la recta, entonces el número $1$ es ya un punto cuando no se reinterpreta en ningún marco de referencia: no es sino cuando yo fijo arbitrariamente dos puntos-números en el espacio (entendido como conjunto universal del discurso, típicamente 3D, y que no se limita ni requiere de la recta) que aparece la noción de distancia entre ellos, de la cual se puede derivar la de recta.

Sea como fuere, reconozco, como ya he recalcado dos veces, que todo esto es ciertamente debatible (entre otras cosas, porque los griegos entendían a los número como segmentos, no puntos), y de ahí que prefiera ahorrarme esta discusión bizantina con una justificación alternativa en la siguiente sección. Sin olvidar que, aunque aquí he argumentado por la precedencia del punto, lo he hecho sólo porque parecía la dirección difícil de defender: recuerdo, mi apelación al teorema de la biyección pretendía notar que es posible construir ambos conceptos de manera independiente, siendo entonces necesario relacionarlos.

a la de recta,

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En mi Analítico vs sintético: Un viaje personal alrededor de la naturaleza de la matemática 2021 discuto una cuestión similar a propósito de las distintas construcciones de los números reales y las distintas axiomáticas para la geometría, enmarcando el problema en el programa de investigación de la reverse mathematics.

por citar algunos ejemplos (que son todos ellos construcciones humanas).

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Como voy a elaborar en la siguiente sección, podría argüirse incluso que todas ellas son construcciones naturales, en el sentido de que punto y recta son entidades independientes entre sí que se dan de manera natural en la realidad física (cada una por su propia cuenta), y que la reducción de una a otra es también bastante natural, aunque luego el lenguaje matemático que intermedie este debate sea un artificio que pone todo ello en palabras (forzando así un orden arbitrario, dada la linealidad del discurso); y en este sentido, siguiendo la jerga de Basalla The Evolution of Technology 1989, punto y recta serían naturfactos.

Otro ejemplo quizá más claro de este mismo fenómeno se puede extraer de Rota Indiscrete Thoughts 1997: aunque la clasificación de los sólidos platónicos pueda ser un hecho empírico y necesario de nuestro mundo particular (ch. 14), no lo es su descubrimiento (bajo el cual subyace una mirada que lo resalta, como diría Foucault, pues, en palabras de Rota ch. 15, «viewing [...] is a function»; sobre la no necesidad del descubrimiento, creo que 3Blue1Brown Hamming codes part 2, the elegance of it all 14:00-16:25 a propósito de Hamming The Art of Doing Science and Engineering 1997 ch. 12 lo ilustra hermosamente: «clever ideas often look deceptively simple in hindsight».) ni su presentación (que se inventa y refina en el tiempo, como recalca Rota ch. 11-13).

2 De la inexistencia fenomenológica del punto y, por extensión, de la imposibilidad de su precedencia

Pero en la naturaleza, in the wild, ¿es posible encontrar ejemplos de puntos? Pues alguien, arremetiendo contra la definición de Euclides, podría decir que no, pues no existen objetos adimensionales.

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Aunque, insisto, los números son adimensionales y, como comentaba en mi Analítico vs sintético a propósito de Butterworth, tienen una objetivación neurológica muy concreta (e.g., en la forma de acumulador, cf. Numberphile How do brains count? 2020, por lo que podrían no requerir mayor abstracción: para este debate tampoco necesitamos la construcción de $N$ ni las bases númericas, sino que $\{|,||,|\left|\right|\}$ probablemente nos baste), así como una materialización simbólica prehistórica (e.g., en las tally marks del hueso de Lebombo, de 43 mil años de antigüedad).

No obstante, si admitiésemos eso, ¿podríamos decir entonces que existen rectas

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I.e., entidades 1-dimensionales sin anchura ni alto, sólo largo

?

Pues quizá podríamos apelar a la delineación de la sombra, célebremente empleada por Eratóstenes

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Posterior a Euclides, sin embargo, por si alguien pretendía hacer un argumento cronológico, si bien es cierto que los relojes y calendarios solares son anteriores a ambos.

. En efecto, una sombra es una proyección de un objeto 3D sobre un plano 2D, de modo que la frontera entre sombra y luz determina una recta (su delineación, delimitación o demarcación). Sin embargo, si admitiésemos esto como natural (yo no me posiciono), entonces no vería tampoco problema en el punto, pues de la misma manera podríamos encontrarlo en la naturaleza como el punto de tangencia entre esferas.

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Por supuesto, un ejemplo más inmediato sería directamente el de la intersección de las rectas generadas por las sombras. Sin embargo, recordemos, la gracia está en dar un ejemplo de punto en la naturaleza con independencia del de recta, ya que la afirmación «los puntos no se dan de manera natural» pretende cuestionar la construcción (euclidiana, concretamente) del punto como anterior a la recta.

Sin duda, alguien podría apelar a que en la naturaleza no hay esferas perfectas,

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A lo que yo respondería: ¿y es acaso la delineación de la sombra perfecta, y no más bien una frontera difusa? «Shadow Dispersion is the effect by which any opaque object’s shadow progressively becomes penumbra.» (Trujillo Calculation of the shadow-penumbra relation and its application on efficient architectural design 2014), «You get these [penumbra] when the light source is larger than a single point.», «As you move into the region of the shadow of the Moon in a total eclipse, to pick an example, there is an exact point at which the Moon just barely starts to block of some light from the Sun. That's the edge of the penumbra. Farther in, there's an exact point at which the Moon blocks off the last bit of light from the Sun. That's the edge of the umbra. Although these edges are sharp, the change in light intensity is gradual. Just outside the umbra, light only reaches the shadow from a little bit of the Sun, so it's still very dark. Just inside the penumbra, light still reaches the shadow from most of the Sun, so it's not very dark.» (Ask the van Q & A: Umbras and Penumbras 2016). O, resumiendo, la delimitación de la sombra será perfecta si la fuente de luz es un punto, por lo que si no admitimos la existencia de puntos en la naturaleza entonces siempre habrá penumbra, cuya delimitación vendrá originada mismamente por ciertos puntos (sin entrar en que la percepción de los límites de la penumbra vendrá supeditada a la sensibilidad del ojo humano, i.e., a la fracción mínima de candelas, unidad de intensidad luminosa, que podemos detectar).

De nuevo, mis referencias no son las mejores para ilustrar lo que quiero (que sería la dificultad de la determinación experimental de la geometría de una sombra en relación, por ejemplo, a los efectos cuánticos de los fotones), pero creo que una lectura caritativa concedería que no está claro que mi analogía no sea legítima.

pero esto no sería necesario (a mi juicio) para el argumento, que se apoya en ello simplemente para facilitar su visualización: me vale igual el apilamiento de fruta durante la recolección, los puntos de equilibro (perfectamente ejemplificados en Pascal Fiechter A rock arch balance y demás imágenes en Gravity Meditation A Introduction to: The Art Of Rock Balancing, cuyos antecedentes se pueden trazar hasta los cairn prehistóricos), los puntos de fuga (aka en el infinito) de la geometría proyectiva (objetivados en las estrellas del firmamento,

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Es difícil ver algo más lejos que una estrella, por lo que creo que es su ejemplificación «natural» más clara y evidente. Por supuesto, técnicamente no están en en el infinito, pero tampoco nuestro ojo tiene una resolución ilimitada: en última instancia, puede concebirse un punto como la resolución del instrumento de medida que es nuestro ojo, i.e., como la mínima fracción de lux, unidad de iluminancia (que es en base a lo cual podemos ver), que podemos detectar (lo cual no es lo mismo que decir que un punto es un círculo muy pequeñito, que es como se suele simbolizar). De hecho, este reframing nos permite definir punto mediante una experiencia similar a Solar Sands Monumentality 22:50-29:40, lo que solventa cierto problema en mi ejemplo de las estrellas, que peca de lo mismo que lo dicho sobre la penumbra: debido a efectos ópticos, percibimos dichos puntos en el infinito de manera difusa.

de cuyas uniones se derivan las constelaciones)... o, en general y resumiendo, cualquier problema o modelo matemático (o físico, para el caso) de la realidad que determine o describa un punto.

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Lightning round: centro de un círculo, foco de una parábola (que motiva el uso de parábolas en el diseño de antenas satelitales, radiotelescopios, concentradores solares...), focos de una elipse, singularidad topológica de una superficie (e.g., agujero de una tela perforada por una aguja en el acto de coser)...

Alguien podría quejarse de que estas modelizaciones matemáticas son una ficción a posteriori que no tiene nada de fenomenológica, pero como creo haber ejemplificado de manera suficiente, mi punto es que dicha modelización apunta a una realidad fenomenológica independiente de la modelización misma. Si yo apunto a dichas modelizaciones, es meramente como atajo (o camino, medio, vía...) a su referencia, no como referencia en sí misma.

Pero por poner un ejemplo menos matemático, y en la línea de razonamiento biologicista anterior del punto como la resolución de nuestra percepción visual,

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Si admitimos a la longitud de Planck como resolución del espacio físico mismo, ahí tendríamos también otro ejemplo de punto (aunque, de nuevo, técnicamente creo tendríamos que hablar de un volumen mínimo).

cuando siento dolor físico, lo siento en los puntos

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Técnicamente, contorno de volúmenes.

donde se sitúan mis receptores del dolor. Por supuesto, se podría contraargumentar que aquí estamos usando otra acepción de punto, el punto como señalización (del foco del dolor)

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Foco que no deja de ser un punto (o, insisto, más técnicamente, una superficie), siendo la señalización un proxy suyo, o, en jerga de Frege, un sentido para su referencia, en una suerte de objetivación indirecta del punto.

, un dirigir la punta del dedo hacia el sitio en cuestión. Ahora bien, incluso con este reframing, creo que seguimos apuntando a la misma realidad fenomenologica de punto (el cual podría pensarse como una concreción de la propiedad de posición),

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De hecho, como ya discutí a propósito del teorema de la biyección entre recta y número, ese señalamiento en el espacio es todo cuanto necesito para afirmar la ontología del punto.

por lo que me seguiría pareciendo un caso igual de legítimo.

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Insisto, con todo esto no pretendo posicionarme, sino sólo establecer equivalencias que obliguen a asumir que, o bien ni el punto ni la recta existen en la naturaleza, o bien existen ambos.

3 De la precedencia cronológica y la necesidad histórica

Aunque la formulación del debate en términos de precedencia creo que se suele interpretar más como preeminencia epistémica o cognitiva,

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Por lo que tiene sentido la discusión anterior, entendiendo la fenomenología como una de las bases de las mismas.

supongo que es sólo natural que terminemos en una discusión sobre cronología. Sin embargo, he dado ya ejemplos fenomenológicos prehistóricos tanto de línea como de punto, por lo que tratar de establecer una precedencia en base a evidencias antropológicas o arqueológicas se me antoja un debate bizantino al que no quiero condescender.

Por concretar un poco más esta problemática, si alguien dijese: «¿Qué fue antes? ¿El neolítico midiendo con una estaca de madera e hilo la distancia de dónde plantar, o la definición de recta de Euclides?», caería en una suerte de petición de principio (de cualquiera que fuera su posición), pues el hilo tiene grosor y anchura del mismo modo que la estaca tiene volumen, por lo que no serían (en estricto rigor) ni una recta ni un punto respectivamente, sino más bien, si acaso, un cilindro muy delgado y un cilindro acabado en punta. Y si dijéramos que el hilo modela o abstrae una recta, también la estaca la idea y función de punto (en base a la posición de su punta).

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Aquí podríamos entrar en otra discusión bizantina referente a si uno de los dos conceptos requiere un nivel de abstracción mayor, pero me voy a abstener, más allá de la pincelada que daré en la sección siguiente.

Más aún, alguien podría tratar de argumentar que fueron necesarias una serie de técnicas de medida antes de que se pudiera formalizar cualquiera de los dos conceptos, que no se dan en la nada (ex nihilo) por generación espontanea. Sin embargo, por una parte, el cuerpo humano me parece una técnica de medida suficiente (como vengo argumentando con la noción de resolución perceptiva, incluyendo en ello a las neuronas contadoras), y por otra, no tengo claro que la historia de la humanidad se pueda traducir tan alegremente en una de necesidad.

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De hecho, ya critiqué este sesgo historicista en mi Algunos recursos divulgativos contra el historicismo filosófico 2022: ¿si reiniciamos aleatoriamente las condiciones iniciales del mundo una infinidad de veces, acaso obtendríamos siempre la misma historia? (cf. CGP Grey Americapox: The Missing Plague 2015 a propósito de Diamond Guns, Germs, and Steel 1997). Y por historia me refiero también a una cronología de los descubrimientos matemáticos: en mi ¿Cuánta información sensorial necesito para hacer matemática? 2020 ya discutí la posibilidad de fundamentar la matemática en el tacto, además de notar la existencia de varios geómetras ciegos importantes, por lo que no me parece imposible una cronología completamente distinta bajo una especie cuyos sentidos preeminentes hubiesen sido otros (como comenté en Reflexiones IA: mis heterodoxias, no tengo claro que el sentido de la vista tenga una ventaja epistémica).

4 De la precedencia cognitiva

En conclusión, no viendo una preeminencia fenomenológica de la recta sobre el punto (ni viceversa), me parece que distintas personas podrían haber llegado a una u a otra primero indistintamente durante la primera infancia. Y en este sentido, el desarrollo cognitivo (y sus condiciones de posibilidad, como la genética, la nutrición, niveles hormonales de la madre durante la gestación, etc.) de los conceptos abstractos establecería también una suerte de cronología alternativa a la antropología o la arqueología.

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Por aclarar este punto, la evolución es un mecanismo bastante lento, por lo que podemos asumir que un cerebro actual y uno de hace 300 mil años desarrollarían los conceptos abstractos en el mismo orden, por lo que teóricamente podríamos resolver la cuestión (consideraciones éticas aparte) replicando las condiciones de vida paleolíticas e insertando en ellas a neonatos, con la salvedad que necesitaríamos replicar también una tribu paleolítica (por las cuestiones de crianza y socialización), y que tampoco sería fácil extraer una respuesta de los susodichos neonatos (como dejan constancia los casos de feral childs), y de ahí que nos tengamos que conformar con Piaget o los estudios antropológicos sobre tribus con estilos de vida semejantes a los que asumimos en el paleolítico. Todo ello sin mencionar que probablemente no haya un orden canónico, como ponen de manifiesto las neurodivergencias; que probablemente tampoco lo haya entre personas neurotípicas, pero, como en el caso de las esferas perfectas, creo que su referencia facilita la visualización de mi argumento.

5 Cierre

Sea como fuere, lo que pretendía notar entrando al ruedo de este debate es que:

1. En todos los ejemplos (de recta o de punto) hay en cierto grado un proceso de abstracción, por lo que, o admites todos (poniendo en igualdad recta y punto), o no admites ninguno (poniendo de nuevo en igualdad a ambos).
2. Existen muchas objetivaciones naturales de ambos conceptos.
3. Debatir la preeminencia de uno sobre otro no me parece productivo:
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   Aunque, siendo justos, en determinados contextos sí puede tener sentido preferir una sobre otra (con independencia de la esterilidad del debate filosófico sobre la legitimidad o canonicidad de dicha preferencia, como si una preferencia no pudiera ser más que eso: una inclinación personal): sino fuera por el logicismo, que antepone la construcción lógica, no tendríamos los teoremas de Gödel, que nacieron del estudio de los Principia de Russell y Whitehead, por ejemplo. Y con esto no pretendo defender el logicismo, sino la tesis de que explorar caritativamente las consecuencias de una posición dada siempre puede ser productivo (deformación profesional, supongo), en la línea de Ter Un concepto que me ha cambiado la vida: la "PERFORMANCE" 2018.

   Por ser aún más claro y concreto sobre esto, las disciplinas de la teoría de pruebas y la teoría de la computabilidad nacen del logicismo, aunque por el camino se hayan reformulado sus objetivos. Supongo que podríamos haber llegado al cálculo lambda (que se basa en la teoría de tipos de los Principia de Russell y Whitehead) y las máquinas de Turing (motivadas por el Entscheidungsproblem del programa de Hilbert) sin el logicismo, pero no me parece descabellado señalar al logicismo como catalizador. De hecho, quizá no estaríamos teniendo a día de hoy esta conversación (a través de una computadora) si no fuera por las fantasías húmedas reduccionistas de Russell y Hilbert.
   la primera construcción (desde un punto de vista cronológico, del desarrollo cognitivo, de un sistema lógico-matemático dado, etc.) es soló una construcción más; como pluralista, no veo porque debería opacar al resto, y de ahí que criticara el singular del principio.